Question

Найдите неопределенные интегралы. правильность полученных результатов проверьте дефференцированием: интеграл(x^4-1/2х-4)dx

Answer 1

(x^5)/5-x^2/4-4x
*******************************
((x^5)/5-x^2/4-4x)'=(5x^(5-1))/5-(2x^(2-1))/4-4=x^4-x/2-4

Answer 2

Решил и проверил. Вышло вот так

Answer 3

Для нахождения неопределенного интеграла от выражения (x^4 - 1/2x - 4)dx, мы будем использовать метод интегрирования по частям и метод подстановки.

Интегрирование по частям:

Для интегрирования по частям, мы используем формулу ∫(u * v)dx = u * ∫vdx - ∫(u' * ∫vdx)dx, где u и v - функции, а u' и v' - их производные.

В данном случае, мы можем выбрать u = x^4 - 1/2x - 4 и dv = dx. Тогда, du = (4x^3 - 1/2)dx и v = x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫(x^4 - 1/2x - 4)dx = (x^4 - 1/2x - 4) * x - ∫((4x^3 - 1/2) * x)dx

Упростим это выражение: ∫(x^4 - 1/2x - 4)dx = x^5 - 1/2x^2 - 4x - ∫(4x^4 - 1/2x)dx

Интегрирование методом подстановки:

Теперь мы можем применить метод подстановки, чтобы вычислить оставшийся интеграл ∫(4x^4 - 1/2x)dx.

Для этого, мы можем выбрать t = x^2, тогда dt = 2x dx.

Подставим это в выражение: ∫(4x^4 - 1/2x)dx = ∫(4t^2 - 1/2 * sqrt(t)) * (1/2 * dt)

Упростим это выражение: ∫(4t^2 - 1/2 * sqrt(t)) * (1/2 * dt) = (1/2) * ∫(4t^2 - 1/2 * sqrt(t))dt

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно: ∫(4t^2 - 1/2 * sqrt(t))dt = (1/2) * (4 * ∫t^2 dt - 1/2 * ∫sqrt(t)dt)

∫t^2 dt = t^3/3 + C1, где C1 - постоянная интеграции.

∫sqrt(t)dt = (2/3) * t^(3/2) + C2, где C2 - постоянная интеграции.

Теперь подставим значения обратно: (1/2) * (4 * ∫t^2 dt - 1/2 * ∫sqrt(t)dt) = (1/2) * (4 * (t^3/3 + C1) - 1/2 * ((2/3) * t^(3/2) + C2))

Окончательный ответ:

Таким образом, неопределенный интеграл от выражения (x^4 - 1/2x - 4)dx равен: x^5 - 1/2x^2 - 4x - (1/2) * (4 * (t^3/3 + C1) - 1/2 * ((2/3) * t^(3/2) + C2))

где t = x^2.

Чтобы проверить правильность полученного результата, мы можем продифференцировать эту функцию и убедиться, что получим исходное выражение (x^4 - 1/2x - 4).