Question

Решите неравенство: (3-x)*sqrt x^2+x-2<=0

Answer 1

$(3-x)\sqrt{x^2+x-2}\leq0 \\ \\ \left \{ {{x^2+x-2\geq0} \atop {3-x\leq0}} \right \\ \\ \left \{ {{x^2+x-2\geq0} \atop {x\geq3}} \right \\ \\ x^2+x-2=0 \\ \\ D=1^2-4*1*(-2)=9=3^2 \\ \\ x_1=\frac{-1+3}{2}=1\ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{-1-3}{2}=-2 \\ \\ \left \{ {{x\in (-\infty;\ -2]\cup[1;\ +\infty)} \atop {x\geq3}} \right$

 

Ответ: $x\in (-\infty;\ -2]\cup[3;\ +\infty)$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство пошагово.

1. Начнем с упрощения выражения внутри корня. Умножим (3 - x) на корень извлекаемый из этого выражения: sqrt((3 - x)*(3 - x)) = sqrt(9 - 6x + x^2).

2. Теперь заменим x^2 на (sqrt(x^2))^2, чтобы можно было объединить корни. Получим sqrt((9 - 6x + x^2) + x^2 + x - 2) <= 0.

3. Продолжим упрощение: sqrt(9 - 6x + x^2 + x^2 + x - 2) <= 0.

4. Объединим подобные термины внутри корня: sqrt(2x^2 - 5x + 7) <= 0.

Теперь определим интервалы, на которых это неравенство выполняется.

5. Поскольку корень из числа всегда неотрицательный, чтобы корень из выражения был неотрицательным, само выражение 2x^2 - 5x + 7 должно быть неотрицательно.

6. Решим неравенство 2x^2 - 5x + 7 >= 0. Можно воспользоваться графиком или квадратным уравнением, чтобы найти интервалы, на которых это неравенство выполняется.

7. Решая квадратное уравнение 2x^2 - 5x + 7 = 0, мы получим два корня: x ≈ 1.43 и x ≈ 2.57.

8. Изучим знаки внутри и вне интервалов между этими корнями.

- Если x < 1.43, то 2x^2 - 5x + 7 > 0. - Если 1.43 < x < 2.57, то 2x^2 - 5x + 7 < 0. - Если x > 2.57, то 2x^2 - 5x + 7 > 0.

9. Теперь мы можем определить, когда неравенство sqrt(2x^2 - 5x + 7) <= 0 выполняется.

- Для интервала x < 1.43, корень извлекает положительное значение, поэтому неравенство не выполняется. - Для интервала 1.43 < x < 2.57, корень извлекает негативное значение, поэтому неравенство выполняется. - Для интервала x > 2.57, корень извлекает положительное значение, поэтому неравенство не выполняется.

Таким образом, решение неравенства (3 - x)*sqrt + x^2 + x - 2 <= 0:

1.43 < x < 2.57.