Question

F(x)=-4x³+1/x² Найдите ту первообразную F(х) для этой функции, график которой проходит через точку А(1:2

Answer 1

$\displaystyle f(x)=-4x^3+ \frac{1}{x^2}$
$\displaystyle \int (-4x^3+ \frac{1}{x^2} )dx=-x^4- \frac{1}{x} +C$
$A(1; 2)$
$\displaystyle 2=-1^4- \frac{1}{1} +C$
$C=4$
$\boxed{\displaystyle F(x)=-x^4- \frac{1}{x}+4 }$

Answer 2

Для начала, чтобы найти первообразную функции \( F(x) = -4x^3 + \frac{1}{x^2} \), мы можем использовать правила интегрирования. После этого мы сможем найти значение постоянной интегрирования, используя информацию о точке \( A(1, 2) \).

Нахождение первообразной функции \( F(x) \)

Для функции \( F(x) = -4x^3 + \frac{1}{x^2} \) мы можем найти первообразную, интегрируя каждый член по отдельности.

Интеграл от \( -4x^3 \) равен \( -x^4 \), так как интеграл от \( x^n \) равен \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \). Интеграл от \( \frac{1}{x^2} \) равен \( -\frac{1}{x} \), так как интеграл от \( x^{-n} \) равен \( -\frac{x^{-n+1}}{-n+1} \).

Таким образом, первообразная функции \( F(x) \) выглядит следующим образом: \[ \int -4x^3 + \frac{1}{x^2} \, dx = -x^4 - \frac{1}{x} + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Нахождение значения константы \( C \)

Теперь, чтобы найти константу интегрирования \( C \), мы можем использовать информацию о точке \( A(1, 2) \), через которую проходит график функции.

Подставляя \( x = 1 \) и \( F(x) = 2 \) в уравнение первообразной, мы можем найти значение константы \( C \): \[ -1^4 - \frac{1}{1} + C = 2 \] \[ -1 - 1 + C = 2 \] \[ C = 2 + 1 + 1 = 4 \]

Таким образом, первообразная функции \( F(x) \) с учётом точки \( A(1, 2) \) имеет вид: \[ \int -4x^3 + \frac{1}{x^2} \, dx = -x^4 - \frac{1}{x} + 4 \]

Таким образом, мы нашли первообразную функции \( F(x) \) и учли информацию о точке \( A(1, 2) \).