Question

Два стрелка поочередно стреляют по мишеням до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго - 0,3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

Answer 1

Стрелки стреляют оп очереди до первого попадания, сначала первый затем второй , значит первый сделает сделает больше выстрелов если он первым поразит мишень.

Вероятность что первый стрелок на первом ходу поразит мишень 0.2
Вероятность что первый стрелок на третьем ход поразит мишень (1-0.2)*(1-0.3)*0.2=0.8*0.7*0.2 (первый промахнулся, второй промахнулся, первый попал)
Вероятность что первый стрелок на пятом ходу поразит мишень (1-0.2)*(1-0.3)*(1-0.2)*(1-0.3)*0.2=0.8*0.7*0.8*0.7*0.2
......
Вероятность (первый стрелок сделает больше выстрелов. чем второй равна)=0.2+0.56*0.2+0.56*0.56*0.2+0.56*0.56*0.56*0.2+....

имеем сумму бесконечной убывающей геомметрической прогрессии с первым членом 0.2 и знаменателем 0.56, ||0.56|<1
Сумма равна
$S=b_1*\frac{1}{1-q}$
$S=0.2*\frac{1}{1-0.56}=\frac{1}{5}*\frac{1}{0.44}=\frac{1}{5}*\frac{100}{44}=$
$\frac{20}{44}=\frac{5}{11}$
ответ: $\frac{5}{11}$
======================
Иначе
Первый стрелок выиграет если он попадет с первого раза $p(a_1)=0.2$, либо не попал $q(a_1)=1-0.2=0.8$, тогда должен промахнуться второй $q(a_2)=1-0.=0.7$, после чего вероятность попадания первого стрелка та же самая. 
Откуда А -вероятность что победит первый
$P(A)=p(a_1)+q(a_1)q(a_2)P(A)$, откуда
$P(A)(1-q(a_1)q(a_2)=p(a_1)$
$P(A)=\frac{p(a_1)}{1-q(a_1)q(a_2)}=\frac{0.2}{1-0.8*07}=$
$\frac{0.2}{1-0.56}=\frac{0.2}{0.44}=\frac{20}{44}=\frac{5}{11}$
ответ: 5/11

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

Пусть событие A - первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

Найдем вероятность события A.

Событие A может произойти, если первый стрелок сделает 1 выстрел и попадет, или если первый стрелок сделает 2 выстрела и попадет, или если первый стрелок сделает 3 выстрела и попадет, и так далее.

Вероятность первого стрелка сделать k выстрелов и попасть равна (0,2)^(k-1) * 0,8, где (0,2)^(k-1) - вероятность сделать k-1 промахов, а 0,8 - вероятность попасть.

Таким образом, вероятность события A можно выразить следующей формулой:

P(A) = (0,2)^0 * 0,8 + (0,2)^1 * 0,8 + (0,2)^2 * 0,8 + ...

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом a = 0,8 и знаменателем q = 0,2.

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле:

S = a / (1 - q)

Подставляем значения:

S = 0,8 / (1 - 0,2) = 0,8 / 0,8 = 1

Таким образом, вероятность события A равна 1.

Ответ: Вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй, равна 1.