Question

Помогите пожалуйста 1. Найдите площадь фигуры , ограниченной линиями у=(3+х)(2-х) и у=3+х 2. Используя геометрический смысл определенного интеграла, найдите:

Answer 1

Приравниваем функции
$(3+x)(2-x)=3+x \\ (3+x)(2-x)-(3+x)=0 \\ (3+x)(2-x-1)=0 \\ (3+x)(1-x)=0 \\ x_1=-3 \\ x_2=1$
Нашли ограниченные линии

$\int\limits^1_{-3} {(-3-x-6+x+x^2)} \, dx = \int\limits^1_{-3} {(x^2-9)} \, dx = \frac{x^3}{3} -9x|^1_{-3}= \frac{32}{3}$

$\int\limits^2_0 { \sqrt{1-(x-1)^2} } \, dx = \frac{ \sqrt{-x(x-2)}( \sqrt{x-2}(x-1) \sqrt{x} -2\ln ( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x} ) }{2 \sqrt{x(x-2)} } |^2_0\approx1.6$

Answer 2

Для начала, давайте найдем точки пересечения данных линий, чтобы определить интервал интегрирования.

Первая линия: у = (3 + х)(2 - х) Вторая линия: у = 3х + 2

Чтобы найти точки пересечения, приравняем два уравнения и решим полученное уравнение относительно х:

(3 + х)(2 - х) = 3х + 2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

6 - 3х + 2х - х^2 = 3х + 2

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

-х^2 + 2х - 3х - 3х - 3 + 2 = 0

Упростим:

-х^2 - 4х - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = -1, b = -4 и c = -1.

D = (-4)^2 - 4(-1)(-1) D = 16 - 4 D = 12

Дискриминант равен 12. Поскольку D > 0, у нас есть два различных корня.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (-(-4) + √12) / (2(-1)) x1 = (4 + √12) / -2 x1 = -2 - √3

x2 = (-(-4) - √12) / (2(-1)) x2 = (4 - √12) / -2 x2 = -2 + √3

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x1 = -2 - √3 и x2 = -2 + √3.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, используя геометрический смысл определенного интеграла.

Нахождение площади фигуры

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = (3 + х)(2 - х) и у = 3х + 2, мы можем использовать определенный интеграл.

Интеграл площади фигуры можно записать как:

A = ∫[a, b] [f(x) - g(x)] dx

где a и b - это точки пересечения линий (x1 и x2), f(x) - верхняя функция (в данном случае (3 + х)(2 - х)), g(x) - нижняя функция (в данном случае 3х + 2).

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями у = (3 + х)(2 - х) и у = 3х + 2 равна:

A = ∫[-2 - √3, -2 + √3] [(3 + х)(2 - х) - (3х + 2)] dx

Теперь мы можем вычислить этот определенный интеграл численно или аналитически, чтобы получить значение площади фигуры.