Question

Помогите решить уравнение. 2^x + 2^(1-x) = 3

Answer 1

${2}^{x} + 2 \times {2} ^{ - x} = 3 \\ {2}^{x} = t > 0 \\ t + 2 \times \frac{1}{t} = 3 \\ {t}^{2} + 2 = 3t \\ {t}^{2} - 3t + 2 = 0 \\ d = 9 - 8 = 1 > 0 \\ x1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \\ x2 = 2 \\ {2}^{x} = 1 \\ x = 0 \\ {2}^{x} = 2 \\ x = 1$
Ответ: 0; 1

Answer 2

Для решения уравнения 2^x + 2^(1-x) = 3 давайте воспользуемся методом замены переменной. Мы можем представить одно из слагаемых в виде степени 2.

Замена переменной:

Пусть 2^x = t. Тогда 2^(1-x) = 2 / t.

Подстановка:

Заменяем 2^x и 2^(1-x) в уравнении:

t + 2 / t = 3

Приведение к квадратному уравнению:

Умножим обе части уравнения на t, чтобы избавиться от знаменателя:

t^2 + 2 = 3t

Приведение к стандартному виду:

t^2 - 3t + 2 = 0

Решение квадратного уравнения:

Теперь у нас есть квадратное уравнение t^2 - 3t + 2 = 0. Мы можем решить его с помощью метода факторизации или квадратного уравнения.

Факторизация:

t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)

Из этого следует, что t = 1 или t = 2.

Обратная замена:

Теперь мы можем вернуться к переменной x с помощью обратной замены:

Для t = 1: 2^x = 1 => x = 0 Для t = 2: 2^x = 2 => x = 1

Проверка:

Проверим наши решения, подставив x = 0 и x = 1 обратно в исходное уравнение:

При x = 0: 2^0 + 2^(1-0) = 1 + 2 = 3 При x = 1: 2^1 + 2^(1-1) = 2 + 1 = 3

Оба значения подходят, поэтому решения уравнения 2^x + 2^(1-x) = 3: x = 0 и x = 1.