Question

система уравнений.двойная замена переменных{ (x^2+1)(y^2+1)=10{ (x+y)(xy-1)=3

Answer 1

(xy)^2+1+x^2+y^2=10

(x+y)(xy-1)=3

 

(xy)^2+(x+y)^2-2xy=9

x+y=t

xy=s

 

t(s-1)=3              t=3/(s-1)

s^2+t^2-2s=9

 

s(s^3-4s^2-4s+16)=0

s=0 s=2 s^2-2s-8=0

s=4 s=-2

 

-2 ; 0; 2; 4;  = xy

-1 ; -3 ; 3; 1  = x+y

 

(-2;1)

(1;-2)

 

(0;-3)

(-3;0)

 

(2;1)

(1;2)

 

нет решений

 

ответ

(-2;1) (1;-2)  (0;-3) (-3;0)  (2;1) (1;2)

 

 

Answer 2

Чтобы решить систему уравнений с двойной заменой переменных, нам нужно последовательно выполнить две замены переменных и найти значения новых переменных. В данном случае у нас есть два уравнения:

1) (x^2+1)(y^2+1) = 10 2) (x+y)(xy-1) = 3

Давайте начнем с первого уравнения. Пусть u = x^2 + 1 и v = y^2 + 1. Тогда мы можем переписать первое уравнение в терминах этих новых переменных:

u * v = 10 ...........(1)

Теперь перейдем ко второму уравнению. Пусть s = x + y и t = xy - 1. Тогда мы можем переписать второе уравнение в терминах этих новых переменных:

s * t = 3 ...........(2)

Теперь у нас есть два новых уравнения, (1) и (2), которые связывают новые переменные u, v, s и t. Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения новых переменных.

Решение уравнения (1)

Из уравнения (1), u * v = 10, мы видим, что u и v являются обратными друг другу. Это означает, что если одна переменная увеличивается, то другая уменьшается и наоборот. Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации значений u и v, которые удовлетворяют уравнению.

Мы знаем, что 10 = 1 * 10 = 2 * 5 = (-1) * (-10) = (-2) * (-5). Это дает нам четыре возможных комбинации значений u и v:

1) u = 1, v = 10 2) u = 2, v = 5 3) u = -1, v = -10 4) u = -2, v = -5

Решение уравнения (2)

Из уравнения (2), s * t = 3, мы можем рассмотреть все возможные комбинации значений s и t, которые удовлетворяют уравнению.

Мы знаем, что 3 = 1 * 3 = (-1) * (-3). Это дает нам две возможные комбинации значений s и t:

1) s = 1, t = 3 2) s = -1, t = -3

Окончательное решение системы уравнений

Теперь, когда у нас есть все возможные комбинации значений новых переменных u, v, s и t, мы можем найти значения исходных переменных x и y.

1) При u = 1 и v = 10: Из первой замены переменных: u = x^2 + 1 и v = y^2 + 1 Подставляем значения u и v: 1 = x^2 + 1 и 10 = y^2 + 1 Решаем данные уравнения и получаем следующие значения: x = 0, y = ±√9 = ±3

2) При u = 2 и v = 5: Из первой замены переменных: u = x^2 + 1 и v = y^2 + 1 Подставляем значения u и v: 2 = x^2 + 1 и 5 = y^2 + 1 Решаем данные уравнения и получаем следующие значения: x = ±√1 = ±1, y = ±√4 = ±2

3) При u = -1 и v = -10: Из первой замены переменных: u = x^2 + 1 и v = y^2 + 1 Подставляем значения u и v: -1 = x^2 + 1 и -10 = y^2 + 1 Решаем данные уравнения и получаем следующие значения: x = ±√0 = 0, y = ±√9 = ±3

4) При u = -2 и v = -5: Из первой замены переменных: u = x^2 + 1 и v = y^2 + 1 Подставляем значения u и v: -2 = x^2 + 1 и -5 = y^2 + 1 Решаем данные уравнения и получаем следующие значения: x = ±√3 = ±√3, y = ±√4 = ±2

Таким образом, мы нашли все возможные значения переменных x и y, которые удовлетворяют исходной системе уравнений.