Question

Cos2x/(ctg^2x-tg^2x)

Answer 1

Числитель = Cos2x = Cos²x - Sin²x
Знаменатель = Ctg²x - tg²x = (Ctgx - tgx)(Ctgx + tgx) =
=(Cosx/Sinx - Sinx/Cosx) ( Cosx/Sinx  + Sinx/Cosx) =
=(Cos²x - Sin²x)/SinxCosx *(Cos²x -+Sin²x)/SinxCosx =
=(Cos²x - Sin²x)/SinxCosx * 1/SinxCosx = (Cos²x - Sin²x)/Sin²xCos²x
Сама дробь сокращается на (Cos²x - Sin²x)
Ответ: Sin²xCos²x = 1/4*Sin²2x

Answer 2

Для начала рассмотрим выражение в знаменателе дроби: \(ctg^2x - tg^2x\).

Тангенс и котангенс - это тригонометрические функции, которые могут быть определены через другие тригонометрические функции.

Тангенс (tg) это отношение синуса косинуса: \(tgx = \frac{{sinx}}{{cosx}}\).

Котангенс (ctg) это обратное отношение тангенса: \(ctgx = \frac{{1}}{{tgx}} = \frac{{cosx}}{{sinx}}\).

Подставим эти определения в исходное выражение: \(ctg^2x - tg^2x\):

\(ctg^2x - tg^2x = \left(\frac{{cosx}}{{sinx}}\right)^2 - \left(\frac{{sinx}}{{cosx}}\right)^2\).

Возведение в квадрат можно раскрыть:

\(\left(\frac{{cosx}}{{sinx}}\right)^2 - \left(\frac{{sinx}}{{cosx}}\right)^2 = \frac{{cos^2x}}{{sin^2x}} - \frac{{sin^2x}}{{cos^2x}}\).

Теперь, рассмотрим числитель дроби: \(cos2x\). Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

\(cos2x = cos^2x - sin^2x\).

Теперь, с учетом этого, перепишем начальное выражение:

\(\frac{{cos2x}}{{ctg^2x - tg^2x}} = \frac{{cos^2x - sin^2x}}{{\left(\frac{{cosx}}{{sinx}}\right)^2 - \left(\frac{{sinx}}{{cosx}}\right)^2}}\).

Дальнейшие преобразования могут быть достаточно сложными, и не всегда существует простое аналитическое выражение для данного выражения. В таких случаях, обычно используются численные методы или графический анализ для решения задачи.

Если у вас есть конкретные значения угла \(x\), вы можете подставить их и вычислить численное значение выражения.