Question

Докажите неравенство а) (x+7)^2 меньше x(x+14) б) b^2+5 меньше или равно 10(b-2)

Answer 1

X*2+14х+49никак не может быть <х^2+14х
в^2+5<10в-20
в^2-10в+25=0
(b-5)^2=0
в=5
Значит при в< или равно 5 выполняется это неравенство

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности и докажем его.

а) Для начала, раскроем скобки в левой части неравенства:

(a + (x + 7))^2 < x(x + 14)

(a + x + 7)^2 < x^2 + 14x

(a^2 + 2ax + x^2 + 14ax + 98 + 49) < x^2 + 14x

a^2 + 16ax + 147 < x^2 + 14x

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - 16ax - 14x + a^2 - 147 > 0

Получили квадратное уравнение вида Ax^2 + Bx + C > 0. Чтобы доказать, что это неравенство выполняется для любых значений x, нам нужно установить, что дискриминант D этого квадратного уравнения меньше нуля.

D = B^2 - 4AC

D = (-16a)^2 - 4(1)(a^2 - 147)

D = 256a^2 - 4a^2 + 588

D = 252a^2 + 588

Так как D всегда положительно, неравенство выполняется для любых значений a и x.

б) Теперь рассмотрим вторую часть неравенства:

b^2 + 5 <= 10(b - 2)

b^2 + 5 <= 10b - 20

Перенесем все члены в одну сторону:

b^2 - 10b + 25 <= 0

(b - 5)^2 <= 0

(b - 5)^2 всегда неотрицательно, поэтому это неравенство выполняется только при b = 5.

Итак, мы доказали, что для первого неравенства выполняется для любых значений a и x, а второе неравенство выполняется только при b = 5.