Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: а) 2*4^n +5^(2n+1) кратно 7б) 7^(2n+1) + 3*9^n кратно 10

Answer 1

$2*2^{2n}+5^{2n+1}=2^{2n+1}+5^{2n+1}=(2+5)(2^{2n}-2^{2n-1}*5+...+5^{2n})=$

$=7(2^{2n}-2^{2n-1}*5+...+5^{2n})$

Так как один из множителей в последней записи делится на 7, то и всё выражение делится на 7.


$7^{2n+1}+3*3^{2n}=7^{2n+1}+3^{2n+1}=(7+3)(7^{2n}-7^{2n-1}*3+...+3^{2n})=$

$=10(7^{2n}-7^{2n-1}*3+...+3^{2n})$

Так как один из множителей в последней записи делится на 10, то и всё выражение делится на 10.

Answer 2

а) Для доказательства, что выражение 2*4^n + 5^(2n+1) кратно 7, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: При n = 1, выражение принимает вид 2*4^1 + 5^(2*1+1) = 2*4 + 5^3 = 8 + 125 = 133. Убедимся, что 133 кратно 7: 133 = 7*19. База индукции верна.

Предположение индукции: Пусть при некотором натуральном k выражение 2*4^k + 5^(2k+1) кратно 7.

Шаг индукции: Докажем, что при k+1 выражение тоже кратно 7. Рассмотрим выражение при n = k+1: 2*4^(k+1) + 5^(2(k+1)+1) = 2*4*4^k + 5^(2k+3) = 8*4^k + 5^2 * 5^(2k+1) = 8*4^k + 25 * 5^(2k+1). Заметим, что 8*4^k кратно 7 по предположению индукции. Также, 25 * 5^(2k+1) = 5^2 * 5^(2k+1) = 5^(2k+2+1) = 5^(2(k+1)+1) кратно 7, так как 5^2 кратно 7. Таким образом, выражение 2*4^n + 5^(2n+1) кратно 7 для любого натурального n.

б) Для доказательства, что выражение 7^(2n+1) + 3*9^n кратно 10, также воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: При n = 1, выражение принимает вид 7^(2*1+1) + 3*9^1 = 7^3 + 3*9 = 343 + 27 = 370. Убедимся, что 370 кратно 10: 370 = 10*37. База индукции верна.

Предположение индукции: Пусть при некотором натуральном k выражение 7^(2k+1) + 3*9^k кратно 10.

Шаг индукции: Докажем, что при k+1 выражение тоже кратно 10. Рассмотрим выражение при n = k+1: 7^(2(k+1)+1) + 3*9^(k+1) = 7^(2k+3+1) + 3*9*9^k = 7^3 * 7^(2k+1) + 3*9*9^k = 343 * 7^(2k+1) + 27 * 9^k. Заметим, что 343 * 7^(2k+1) кратно 10, так как 343 кратно 7 и 7^(2k+1) кратно 7 по предположению индукции. Также, 27 * 9^k кратно 10, так как 27 кратно 9 и 9^k кратно 9 по предположению индукции. Таким образом, выражение 7^(2n+1) + 3*9^n кратно 10 для любого натурального n.