Question

Помогите пожалуйста. Исследовать функцию на выпуклость y = x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 3x + 1

Answer 1

Y=x⁴+2x³-12²-3x+1
y''=(x⁴+2x³-12x²-3x+1)''=(4x³+6x²-24x-3)'=12x²+12x-24
y''=0
12x²+12x-24=0
x²+x-2=0
x₁=-2, x₂=1
y''        +                   -                        +
-----------------|------------------|------------------>x
y        ∨        -2         ∧          1        ∨

∨ - читать: "при х∈(-∞;-2)U(1;∞) функция выпукла вниз"
∧ -читать "при х∈(-2;1) функция выпукла вверх"

Answer 2

Для исследования функции на выпуклость, нам нужно найти вторую производную функции y = x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 3x + 1 и проанализировать знак этой производной.

Сначала найдем первую производную функции: y' = 4x^3 + 6x^2 - 24x - 3

Теперь найдем вторую производную: y'' = 12x^2 + 12x - 24

Для определения выпуклости функции на отрезке [a, b] нужно проанализировать знак второй производной на этом отрезке. Если y'' > 0 на [a, b], то функция выпукла вверх на этом отрезке. Если y'' < 0 на [a, b], то функция выпукла вниз на этом отрезке.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв первую производную к нулю: 4x^3 + 6x^2 - 24x - 3 = 0

Это уравнение не имеет простых решений, поэтому для нахождения точек экстремума можно воспользоваться методами численного анализа, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

После нахождения точек экстремума, можно проанализировать знак второй производной в этих точках и определить, является ли функция выпуклой вверх или вниз на соответствующих отрезках.

Надеюсь, это поможет вам исследовать функцию на выпуклость!