Question

Решить уравнение: a) x^2 = корень из 19x^2-34 ; b) корень 4 степени из 25x^2-144 равно х

Answer 1

1)$x^2=\sqrt{19x^2-34}$

Область определения уравнения:

$19x^2-34 \geq 0$

$x \in (-\infty;-\sqrt{\frac{34}{19}}] \cup [\sqrt{\frac{34}{19}};+\infty)$

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:

$x^4=19x^2-34$

$x^4-19x^2+34=0$

Решение подобного биквадратного уравнения сводится к замене вида:$x^2=t,t \geq 0$

$t^2-19t+34=0$

$t_1=2;t_2=17$

Исходя из области определения корнями будут:

$x_1=-\sqrt{2};x_2=\sqrt{2};x_3=-\sqrt{17};x_4=\sqrt{17}$

Ответ:$\{-\sqrt{17}\}\cup\{-\sqrt{2}\}\cup\{\sqrt{2}\}\cup\{\sqrt{17}\}$

 

$\sqrt[4]{25x^2-144}=x$

Область определения уравнения:

$25x^2-144 \geq 0$

$x\in(-\infty;-\frac{12}{5}] \cup [\frac{12}{5};+\infty)$

Преобразовывая область определения отбросим левую часть,так как корень равен неотрицательному числу(в данном случае числом является x,и при отрицательных x равенство не имеет место)

$x\in[\frac{12}{5};+\infty)$

Возведем обе неотрицательные части в четвертую степень:

$25x^2-144=x^4$

$x^4-25x^2+144=0$

Решение подобного биквадратного уравнения сводится к замене вида:$x^2=t,t \geq 0$

$t^2-25t+144=0$

$t_1=16;t_2=9$

Исходя из области определения корнями будут:

$x_1=3;x_2=4$

Ответ:$\{3\} \cup \{4\}$

Answer 2

a) Для решения уравнения x^2 = √(19x^2-34) нужно сначала выразить x^2 из подкоренного выражения:

x^2 = √(19x^2-34) x^4 = 19x^2 - 34 x^4 - 19x^2 + 34 = 0

Теперь проведем замену переменной: пусть z = x^2, тогда уравнение примет вид:

z^2 - 19z + 34 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-19)^2 - 4*1*34 = 361 - 136 = 225

z1,2 = (19 ± √225)/2 = (19 ± 15)/2

Таким образом, получаем два решения:

z1 = (19 + 15)/2 = 17 z2 = (19 - 15)/2 = 2

Теперь подставляем обратно x^2 вместо z:

Для z1: x^2 = 17 => x = ±√17 Для z2: x^2 = 2 => x = ±√2

Итак, решения уравнения x^2 = √(19x^2-34) равны ±√17 и ±√2.

b) Для решения уравнения √4(25x^2-144) = x нужно сначала избавиться от корня:

√4(25x^2-144) = x 2√(25x^2-144) = x

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2√(25x^2-144))^2 = x^2 4(25x^2-144) = x^2 100x^2 - 576 = x^2 99x^2 = 576 x^2 = 576/99 x^2 = 64/11

Теперь извлекаем корень из обеих сторон уравнения:

x = ±√(64/11) x = ±8/√11

Итак, решение уравнения √4(25x^2-144) = x равно x = ±8/√11.