Question

Случайная величина X задана функцией распределения F(x)={0, x<2 x-2, 2<=x<=3 1, x>3 Найти: а) плотность вероятности; б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания X в интервал (0,3).

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Определение плотности вероятности, математического ожидания и дисперсии, а также вероятности попадания в интервал

Для случайной величины X, заданной функцией распределения F(x), необходимо найти: а) плотность вероятности; б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попадания X в интервал (0,3).

Плотность вероятности

Плотность вероятности случайной величины X может быть найдена из производной функции распределения F(x). По формуле:

\[f(x) = F'(x)\]

где \(F'(x)\) - производная функции распределения.

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание случайной величины X (обозначается как E(X)) и её дисперсия (обозначается как Var(X)) могут быть найдены по следующим формулам:

\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx\]

\[Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\]

где f(x) - плотность вероятности.

Вероятность попадания X в интервал (0,3)

Вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,3) может быть найдена с использованием функции распределения F(x):

\[P(0 < X < 3) = F(3) - F(0)\]

где F(x) - функция распределения.

Решение

Плотность вероятности

Из заданной функции распределения F(x) получим плотность вероятности:

\[f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0, & x < 2 \\ 1, & 2 \leq x \leq 3 \\ 0, & x > 3 \end{cases}\]

Математическое ожидание и дисперсия

Для нахождения математического ожидания и дисперсии, сначала нужно найти плотность вероятности f(x), а затем использовать формулы для E(X) и Var(X).

Вероятность попадания X в интервал (0,3)

Используя функцию распределения F(x), найдем вероятность попадания X в интервал (0,3).

Далее рассмотрим каждую часть подробнее.