Question

Можно ли число 8642 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

Answer 1

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
Обозначив $x-y=a$ и $x+y=b$ получим систему:
$\left[\begin{array}{l}x+y=a\\x-y=b\end{array}\Rightarrow 2x=a+b$
Так как все рассматриваемые числа натуральные, то сумма a+b должна быть четная, а произведение ab в данном случае равно 8642.
Разложим число 8642 на простые множители:
$8642=2\cdot29\cdot149$
Так как четный множитель всего один, то всегда одно из чисел (a или b) будет нечетным, а другое четным. Тогда сумма нечетного и четного числа даст нечетное число, в то время как для положительного ответа на вопрос необходимо число четное. Значит, такое предсталвение невозможно.
Ответ: нет, нельзя

Answer 2

Да, число 8642 можно представить как разность квадратов двух натуральных чисел.

Для этого найдем ближайший квадрат, который меньше 8642. Квадрат ближайшего числа, меньшего 8642, равен 92 = 81. Теперь выразим 8642 как разность квадратов:

8642 = 81^2 + x^2

где x - натуральное число. Решим это уравнение:

8642 - 81^2 = x^2 8642 - 6561 = x^2 2071 = x^2 x = √2071 ≈ 45.52

Таким образом, мы можем представить число 8642 как разность квадратов двух натуральных чисел: 8642 = 81^2 + 45^2.