Question

Найдите наименьшее значение выражения (x+2y)^2+(x+y-1)^2 и значения x и y, при которых оно достигается

Answer 1

Число 2 перемнож на скобки и реши тогда и найдешь то что надо

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения `(x + 2y)^2 + (x + y - 1)^2` и соответствующих значений `x` и `y`, мы можем использовать метод минимизации.

Метод минимизации

1. Первым шагом мы можем раскрыть квадраты в выражении: `(x + 2y)^2 + (x + y - 1)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 + x^2 + 2xy - 2x + 2xy + y^2 - 2y - x + y - 1` Упростив это выражение, мы получим: `2x^2 + 8xy + 5y^2 - 3x - 3y - 1`

2. Далее, мы можем рассмотреть это выражение как функцию двух переменных `x` и `y`. Обозначим эту функцию как `f(x, y) = 2x^2 + 8xy + 5y^2 - 3x - 3y - 1`.

3. Чтобы найти минимальное значение этой функции, мы можем использовать метод частных производных. Найдем частные производные по `x` и `y` и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки: - Частная производная по `x`: `df/dx = 4x + 8y - 3` - Частная производная по `y`: `df/dy = 8x + 10y - 3`

Решим систему уравнений: ``` 4x + 8y - 3 = 0 (1) 8x + 10y - 3 = 0 (2) ```

4. Решим систему уравнений (1) и (2) для `x` и `y`. Выразим `x` из уравнения (2) и подставим в уравнение (1): ``` 4x + 8y - 3 = 0 8x + 10y - 3 = 0

Из уравнения (2): x = (3 - 10y) / 8 Подставим в уравнение (1):

4 * ((3 - 10y) / 8) + 8y - 3 = 0 (12 - 40y) / 8 + 8y - 3 = 0 12 - 40y + 64y - 24 = 0 24y - 12 = 0 24y = 12 y = 1/2

Подставим значение y = 1/2 в уравнение (2): x = (3 - 10(1/2)) / 8 x = (3 - 5) / 8 x = -2 / 8 x = -1/4 ```

Таким образом, мы получили критическую точку `(x, y) = (-1/4, 1/2)`.

5. Чтобы убедиться, что это точка минимума, мы можем использовать вторые производные и критерий второго порядка. Вычислим вторые частные производные: - Вторая производная по `x`: `d^2f/dx^2 = 4` - Вторая производная по `y`: `d^2f/dy^2 = 10` - Смешанная вторая производная: `d^2f/dxdy = 8`

Вычислим значение смешанной второй производной в точке (-1/4, 1/2): `d^2f/dxdy = 8`

Так как `d^2f/dxdy > 0` и `d^2f/dx^2 > 0`, то это точка минимума.

6. Таким образом, наименьшее значение выражения `(x + 2y)^2 + (x + y - 1)^2` достигается при `x = -1/4` и `y = 1/2`, и это значение можно вычислить, подставив эти значения в исходное выражение: `(x + 2y)^2 + (x + y - 1)^2 = (-1/4 + 2(1/2))^2 + (-1/4 + 1/2 - 1)^2 = (0)^2 + (0)^2 = 0`

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 0.