Question

Для функции y=f(x) найдите первообразную график которой проходит через начало координат 1) f(x)=(x+1)(x+3);2) f(x)=(1-x)(3+x); подробное решение

Answer 1

1) f(x) = (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3
F(x) = x³/3 + 4x²/2 + 3x + C
Это общий вид первообразных. Их (первообразных) вообще-то тьма-тьмущая ( С - любое число)
Нам нужна одна. Её график проходит через (0;0).
Первая  координата х = 0, вторая координата у = F(x) = 0
Заменим.
0 = 0 = 0 + 0 + C
C=0
Значит, наша первообразная ( единственная) имеет вид:
F(x) = x³/3 + 4x²/2 + 3x = x³/3 +2x² + 3x
2) f(x) = (1 - x)(3 + x) = x -x² -3x +3 = -x² -2x +3
F(x) = -x³/3 -2x²/2 + 3x + C = -x³/3 - x² + 3x + C
Это общий вид первообразных. Их (первообразных) вообще-то тьма-тьмущая ( С - любое число)
Нам нужна одна. Её график проходит через (0;0).
Первая  координата х = 0, вторая координата у = F(x) = 0
Заменим.
0 = 0 = 0 + 0 + C
C=0
Значит, наша первообразная ( единственная) имеет вид:
F(x) = -x³/3  - x² + 3x 

Answer 2

Первообразная функции f(x) = (x+1)(x+3), проходящая через начало координат

Для нахождения первообразной функции f(x) = (x+1)(x+3), проходящей через начало координат, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x) и которая принимает значение 0 в точке x = 0.

Для начала, найдем производную функции f(x):

f'(x) = (x+1)(x+3)' = (x+1)(1) + (x+3)(1) = 2x + 4

Теперь найдем первообразную функции f(x), используя интеграл:

F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (2x + 4) dx = x^2 + 4x + C

Где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, мы используем условие, что функция F(x) должна проходить через начало координат (0, 0). Подставим x = 0 в уравнение F(x):

F(0) = 0^2 + 4(0) + C = 0 + 0 + C = C

Таким образом, значение постоянной C равно 0.

Итак, первообразная функции f(x) = (x+1)(x+3), проходящая через начало координат, равна:

F(x) = x^2 + 4x

Первообразная функции f(x) = (1-x)(3+x), проходящая через начало координат

Для нахождения первообразной функции f(x) = (1-x)(3+x), проходящей через начало координат, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x) и которая принимает значение 0 в точке x = 0.

Для начала, найдем производную функции f(x):

f'(x) = (1-x)(3+x)' = (1-x)(1) + (3+x)(-1) = -2x + 2

Теперь найдем первообразную функции f(x), используя интеграл:

F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (-2x + 2) dx = -x^2 + 2x + C

Где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, мы используем условие, что функция F(x) должна проходить через начало координат (0, 0). Подставим x = 0 в уравнение F(x):

F(0) = -(0)^2 + 2(0) + C = 0 + 0 + C = C

Таким образом, значение постоянной C равно 0.

Итак, первообразная функции f(x) = (1-x)(3+x), проходящая через начало координат, равна:

F(x) = -x^2 + 2x