Question

Найти E(f) y=5-x^2, y=x^2 + 4x - 7

Answer 1

$x^2 \geq 0|*(-1)$
$-x^2 \leq 0|+5$
$5-x^2 \leq 5$

Т.е. значение, которые принимает функция $y(x)$, всегда меньшие чем $5$, при чем $y(0)=5$.

$E(f): (-\infty;5]$
---------------------------------------------
$x^2 + 4x - 7=x^2 + 2*x*2+2^2-2^2 - 7=$
$=(x^2 + 2*x*2+2^2)-2^2 - 7=(x+2)^2-4-7=(x+2)^2-11$
$(x+2)^2 \geq 0|-11$
$(x+2)^2 -11\geq -11$

Т.е. значение, которые принимает функция $y(x)$, всегда большие чем $-11$, при чем $y(-2)=-11$.

$E(f): [-11;\infty)$

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим уравнение y = 5 - x^2, которое задает кривую на плоскости. Это парабола, которая открывается вниз и имеет вершину в точке (0, 5). Уравнение y = x^2 + 4x - 7 также задает кривую на плоскости. Это также парабола, но она открывается вверх и имеет вершину в точке (-2, -11).

Чтобы найти точки пересечения этих двух кривых, мы можем приравнять их уравнения и решить получившееся квадратное уравнение:

5 - x^2 = x^2 + 4x - 7

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

2x^2 + 4x - 12 = 0

Мы можем разделить это уравнение на 2, чтобы упростить его:

x^2 + 2x - 6 = 0

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней этого уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 2 и c = -6. Подставим эти значения в формулу:

x = (-2 ± √(2^2 - 4(1)(-6))) / 2(1)

Раскроем скобки и упростим выражение:

x = (-2 ± √(4 + 24)) / 2

x = (-2 ± √28) / 2

x = (-2 ± 2√7) / 2

x = -1 ± √7

Таким образом, у нас есть два значения x: -1 + √7 и -1 - √7. Чтобы найти соответствующие значения y, мы можем подставить эти значения x в одно из исходных уравнений.

Давайте подставим первое значение x = -1 + √7 в уравнение y = 5 - x^2:

y = 5 - (-1 + √7)^2

y = 5 - (1 - 2√7 + 7)

y = 5 - 8 + 2√7

y = -3 + 2√7

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты (-1 + √7, -3 + 2√7).

Теперь давайте подставим второе значение x = -1 - √7 в уравнение y = 5 - x^2:

y = 5 - (-1 - √7)^2

y = 5 - (1 + 2√7 + 7)

y = 5 - 8 - 2√7

y = -3 - 2√7

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты (-1 - √7, -3 - 2√7).

Окончательно, точки пересечения этих двух кривых равны (-1 + √7, -3 + 2√7) и (-1 - √7, -3 - 2√7).