Question

Определите количество корней уравнения sin2 x = √2cos x на промежутке [0;2π)

Answer 1

$sin2 x =\sqrt{2}cos x ;$

$2sin x cos x=\sqrt{2}cos x ;$

$cos x(sin x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0;$

$cos x=0$  V $sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

$cos x=0$ 

$x=\frac{\pi}{2}+\pi*k;$ k є Z

 

$sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+pi*n;$ n є Z

 

из них на промежутке [0;2π) это корни $\frac{\pi}{2}; \frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{4}; \frac{3 \pi}{4}$

т.е. 4 корня

ответ: 4 корня

Answer 2

Для определения количества корней уравнения sin^2(x) = √2cos(x) на промежутке [0;2π), мы можем приступить к анализу данного уравнения. Прежде всего, давайте приведем его к более удобному виду.

Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x). Таким образом, уравнение принимает вид:

1 - cos^2(x) = √2cos(x)

Перенесем все выражения на одну сторону уравнения:

cos^2(x) + √2cos(x) - 1 = 0

Теперь давайте заменим cos(x) на переменную t:

t^2 + √2t - 1 = 0

Это уже уравнение вида квадратного уравнения, где t является переменной. Мы можем решить его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Решим его с использованием формулы дискриминанта:

Дискриминант D = (√2)^2 - 4 * 1 * (-1) = 2 + 4 = 6

Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня.

Формула для нахождения корней t:

t = (-√2 ± √6) / 2

Теперь нам нужно найти значения x, используя найденные значения t. Мы можем использовать обратные функции косинуса для этого:

x = arccos(t)

Итак, у нас есть два значения t, и мы можем найти соответствующие значения x, используя обратные функции косинуса.

Давайте найдем значения x:

x1 = arccos((-√2 + √6) / 2) x2 = arccos((-√2 - √6) / 2)

Теперь мы можем найти значения x на промежутке [0;2π), подставляя полученные значения в уравнение и проверяя их.

Обратите внимание, что я не могу точно вычислить числовые значения x, поскольку они зависят от конкретных значений t. Но вы можете использовать калькулятор или программу для нахождения численных значений x.

Таким образом, количество корней уравнения sin^2(x) = √2cos(x) на промежутке [0;2π) будет равно количеству значений x1 и x2, удовлетворяющих условию.