Question

Найдите длину промежутка возрастания функции f(x)= -1/3x^3+4x^2-15x

Answer 1

Нужно найти промежутки, где производная положительна
f'=-1/3*3*x^2+2*4*x-15=-x^2+8x-15>0
x^2-8x+15<0
(x-3)(x-5)<0
(3;5)
длина 2 единицы

Answer 2

Для нахождения длины промежутка возрастания функции f(x) = -1/3x^3 + 4x^2 - 15x, нам необходимо найти интервалы, на которых функция возрастает.

Для этого мы можем воспользоваться производной функции. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция возрастает на этом интервале.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (-1/3x^3 + 4x^2 - 15x)

Чтобы найти производную функции, мы дифференцируем каждый член по отдельности:

f'(x) = -1/3 * d/dx (x^3) + 4 * d/dx (x^2) - 15 * d/dx (x)

Вычислим производные:

f'(x) = -1/3 * 3x^2 + 4 * 2x - 15

f'(x) = -x^2 + 8x - 15

Нахождение интервалов возрастания

Теперь, чтобы найти интервалы возрастания, мы должны найти значения x, при которых производная положительна.

Решим неравенство f'(x) > 0:

-x^2 + 8x - 15 > 0

Для решения этого квадратного неравенства, мы можем использовать факторизацию или метод дискриминанта. Оба метода приведут к одному результату, который является интервалом возрастания функции.

Факторизация

Найдем корни квадратного уравнения -x^2 + 8x - 15 = 0:

(x - 3)(x - 5) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 3 и x = 5.

Используя эти корни, мы можем построить таблицу знаков:

| x | -x^2 + 8x - 15 | |-----|-----------------| | 2 | + | | 4 | - | | 6 | + |

Из этой таблицы мы видим, что функция f(x) возрастает на интервалах (3, 5).

Длина промежутка возрастания

Для нахождения длины промежутка возрастания, мы вычитаем меньшее значение из большего:

Длина промежутка возрастания = 5 - 3 = 2

Таким образом, длина промежутка возрастания функции f(x) = -1/3x^3 + 4x^2 - 15x равна 2.