Question

Sin(arctg(1/2)-arcctg(-sqrt(3))

Answer 1

$sin(arctg\frac{1}{2}-arcctg(-\sqrt{3}))=\\ sin(arctg\frac{1}{2}+\frac{\pi}{3})=\\ sin(arctg\frac{1}{2})cos\frac{\pi}{3}+cos(arctg\frac{1}{2})sin\frac{\pi}{3}=$ 
 выразим синус через тангенс 
$> <img src=$

$sin(arctg\frac{1}{2}-arctg(-\sqrt{3}))=\\ \frac{8\sqrt{5}+18}{18\sqrt{5}+40}}*cos\frac{\pi}{3}+\frac{4\sqrt{5}+5}{4\sqrt{5}+13} *sin\frac{\pi}{3}=\\ \frac{4\sqrt{5}+9}{18\sqrt{5}+40}+\frac{4\sqrt{5}+5}{4\sqrt{5}+13}*\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства арктангенса и арккотангенса.

Данное выражение содержит арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg). Для начала, давайте рассмотрим арктангенс:

Арктангенс (arctg) - это функция, обратная к тангенсу (tg). Она принимает на вход значение тангенса и возвращает угол, чей тангенс равен этому значению. То есть, если arctg(x) = y, то tg(y) = x.

Аналогично, арккотангенс (arcctg) - это функция, обратная к котангенсу (ctg). Она принимает на вход значение котангенса и возвращает угол, чей котангенс равен этому значению. То есть, если arcctg(x) = y, то ctg(y) = x.

Теперь, давайте разберемся с выражением:

Sin(arctg(1/2) - arcctg(-sqrt(3)))

1. Найдем значения аргументов внутри функций arctg и arcctg: - arctg(1/2) = угол, чей тангенс равен 1/2 - arcctg(-sqrt(3)) = угол, чей котангенс равен -sqrt(3)

2. Вычислим значения тангенса и котангенса для соответствующих углов: - tg(arctg(1/2)) = 1/2 - ctg(arcctg(-sqrt(3))) = -sqrt(3)

3. Подставим найденные значения в исходное выражение: Sin(arctg(1/2) - arcctg(-sqrt(3))) = Sin(1/2 - (-sqrt(3)))

4. Воспользуемся формулой разности для синуса: Sin(a - b) = Sin(a) * Cos(b) - Cos(a) * Sin(b)

5. Подставим значения в формулу: Sin(1/2 - (-sqrt(3))) = Sin(1/2) * Cos(-sqrt(3)) - Cos(1/2) * Sin(-sqrt(3))

6. Вычислим значения синуса и косинуса для соответствующих углов: - Sin(1/2) ≈ 0.4794 - Cos(-sqrt(3)) ≈ -0.5 - Cos(1/2) ≈ 0.8776 - Sin(-sqrt(3)) ≈ -0.8660

7. Подставим найденные значения в исходное выражение: Sin(1/2 - (-sqrt(3))) ≈ 0.4794 * (-0.5) - 0.8776 * (-0.8660)

8. Выполним вычисления: Sin(1/2 - (-sqrt(3))) ≈ -0.2397 + 0.7600

9. Итак, окончательное значение выражения Sin(arctg(1/2) - arcctg(-sqrt(3))) составляет примерно 0.5203.

Ответ:

Sin(arctg(1/2) - arcctg(-sqrt(3))) ≈ 0.5203