Question

доказать справедливость неравенств |a+b| меньше либо равно |a|+|b|

Answer 1

доказать можно, применим свойство модуля: |$a^{2}$|=$a^{2}$, то есть возведем обе части неравенства $|a+b|\leq |a|+|b|$ в квадрат:

$(a + b)^{2}\leq a^{2} +2|ab|+b^{2}$, сокращаем: 

$2ab\leq |2ab|$  

так как модуль - положительное число (из определения), то $|2ab|\geq 0$, в то время как 2ab может принимать различные значения: как польжительные, так и отрицательные, следовательно $|a+b|\leq |a|+|b|$  

Answer 2

Можно скажем возвести в квадрат, тогда получим

Применяя это свойство модуля $|x|^2 = x^2$

$(a+b)^2 \leq (|a| + |b|)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2$

После приведения подобных останется

ab ≤ |a||b|

Произведение |a||b| всегда положительно при любых a и b

А произведение ab может быть как положительным (к примеру a>0, b>0 или a<0, b<0), так и отрицательным (a>0, b<0 или a<0, b>0)

В итоге, что и требовалось доказать |a+b|≤ |a|+|b|.

Answer 3

Для начала, давайте вспомним определение модуля числа. Модуль числа a обозначается как |a| и определяется как расстояние от числа a до нуля на числовой оси. То есть, если a положительное, то |a| равно a, а если a отрицательное, то |a| равно -a.

Теперь, рассмотрим неравенство |a+b| <= |a| + |b|. Разложим модуль суммы a и b по определению: |a+b| = a+b, если a+b >= 0, и |a+b| = -(a+b), если a+b < 0.

Таким образом, неравенство можно записать как a+b <= |a| + |b|, если a+b >= 0, и -(a+b) <= |a| + |b|, если a+b < 0.

Рассмотрим два случая:

1. Если a+b >= 0: Тогда неравенство принимает вид a+b <= |a| + |b|, что очевидно, так как сумма a и b по модулю не может быть больше, чем сумма модулей a и b.

2. Если a+b < 0: Тогда неравенство принимает вид -(a+b) <= |a| + |b|. Умножим обе части неравенства на -1 и поменяем знак неравенства: a+b >= -|a| - |b|. Это также очевидно, так как сумма a и b по модулю не может быть меньше, чем отрицательная сумма модулей a и b.

Таким образом, мы доказали справедливость неравенства |a+b| <= |a| + |b| для всех действительных чисел a и b.