Question

Найдите сумму ординат точек экстремума функции f(x)=x^3/(x^2-3)

Answer 1

F(x)=(3x²*(x²-3)-2x^x³)/(x²-3)²=(3x^4-9x²-2x^4)/(x²-3)²=(x^4-9x²)/(x²-3)²=
=x²(x-3)(x+3)/(x²-3)²=0
x 0  x=3  x=-3
           +              _                _                  +
_____________________________________
                 -3                  0                3
               max                                  min
ymax(-3)=-27/(9-3)=-27/6=-4,5
ymin(3)=27/(9-3)=27/6=4,5
-4,5+4,5=0

Answer 2

Для того чтобы найти сумму ординат точек экстремума функции f(x) = x^3/(x^2 - 3), первым шагом нужно найти эти точки экстремума.

Нахождение точек экстремума:

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную функции f(x) и приравнять ее к нулю. Затем решим полученное уравнение для нахождения значений x, где производная равна нулю.

Давайте найдем производную функции f(x):

f(x) = x^3/(x^2 - 3)

Для удобства в дальнейшем вычислении, представим функцию f(x) в виде:

f(x) = x^3 * (x^2 - 3)^(-1)

Теперь продифференцируем функцию f(x) по x, используя правило производной произведения и правило производной степенной функции:

f'(x) = 3x^2 * (x^2 - 3)^(-1) - x^3 * (-2(x^2 - 3)^(-2)) * 2x

Упростим это выражение:

f'(x) = 3x^2/(x^2 - 3) + 2x^4/(x^2 - 3)^2

Теперь приравняем производную f'(x) к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2/(x^2 - 3) + 2x^4/(x^2 - 3)^2 = 0

Мы не можем просто перенести оба слагаемых на другую сторону уравнения, чтобы получить общий знаменатель. Вместо этого, мы можем умножить обе части уравнения на (x^2 - 3)^2, чтобы избавиться от знаменателей:

3x^2 * (x^2 - 3) + 2x^4 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3x^4 - 9x^2 + 2x^4 = 0

5x^4 - 9x^2 = 0

Теперь мы можем факторизовать это уравнение:

x^2(5x^2 - 9) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x:

x^2 = 0 => x = 0

5x^2 - 9 = 0 => 5x^2 = 9 => x^2 = 9/5 => x = ±√(9/5)

Вычисление ординат точек экстремума:

Теперь, когда у нас есть значения x для точек экстремума, мы можем найти соответствующие ординаты, подставив их обратно в исходную функцию f(x).

Давайте вычислим ординаты для каждого значения x:

Для x = 0: f(0) = 0^3/(0^2 - 3) = 0/(-3) = 0

Для x = √(9/5): f(√(9/5)) = (√(9/5))^3/((√(9/5))^2 - 3) = (9/5√5)/((9/5) - 3) = (9√5)/10

Для x = -√(9/5): f(-√(9/5)) = (-√(9/5))^3/((-√(9/5))^2 - 3) = -(9√5)/10

Сумма ординат точек экстремума:

Теперь, чтобы найти сумму ординат точек экстремума, просто сложим полученные значения:

0 + (9√5)/10 + (-(9√5)/10)

Очевидно, что второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, поэтому сумма ординат равна 0.

Таким образом, сумма ординат точек экстремума функции f(x) = x^3/(x^2 - 3) равна 0.