Question

При каких значениях m функция f (x) = x ^ 3 + 3mx ^ 2 + 12x-5 возрастает на R?

Answer 1

Task/27053906
--------------------
При каких значениях m функция f(x) = x³+3mx² +12x - 5 возрастает на R ?
-------------
Функция  возрастает на R , если  f '(x) > 0  для любого значения x .
f '(x) = (x³ + 3mx² + 12x - 5) ' =3x² +6mx +12 +0  =3(x² +2mx +4) ;
x² +2mx +4  > 0              * * *  (x +m)²  - (m² -4) > 0 * * *
D₁ = m² - 4 < 0  ⇔ (m +2)(m -2)  < 0 ⇒ m ∈ ( -2 ; 2).

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях m функция f(x) = x^3 + 3mx^2 + 12x - 5 возрастает на всей числовой прямой R, нам необходимо проанализировать производную этой функции.

Анализ производной функции

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x: ``` f'(x) = 3x^2 + 6mx + 12 ```

2. Чтобы определить, при каких значениях m функция f(x) возрастает на R, мы должны найти интервалы, на которых производная положительна.

3. Решим неравенство f'(x) > 0: ``` 3x^2 + 6mx + 12 > 0 ```

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод дискриминантов или графический метод. Однако, в данном случае, мы можем воспользоваться фактом, что коэффициент при x^2 положительный (3 > 0), что означает, что парабола, заданная этим квадратным трехчленом, будет направлена вверх.

Таким образом, чтобы найти интервалы, на которых производная положительна, нам нужно найти интервалы, на которых дискриминант отрицательный или равен нулю.

4. Решим дискриминантное неравенство: ``` D = (6m)^2 - 4 * 3 * 12 < 0 ```

Решая это неравенство, мы найдем интервалы, на которых производная положительна.

Решение дискриминантного неравенства

1. Раскроем скобки и упростим выражение: ``` 36m^2 - 144 < 0 ```

2. Перенесем все члены в одну сторону: ``` 36m^2 < 144 ```

3. Разделим обе части неравенства на 36: ``` m^2 < 4 ```

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства: ``` -2 < m < 2 ```

Ответ

Таким образом, функция f(x) = x^3 + 3mx^2 + 12x - 5 возрастает на всей числовой прямой R при значениях m, лежащих в интервале (-2, 2).