Question

Cos^2a(1+tg^2a)-sin^2a=cos^2a докажите тождество

Answer 1

$\cos^2 \alpha \cdot (1+\tan^2 \alpha )-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha +\cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\sin^2 \alpha }{\cos^2 \alpha } -\sin^2 \alpha =\\\\=\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha -\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha$

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте разберемся подробнее.

Начнем с левой стороны тождества:

cos^2(a)(1+tg^2(a))-sin^2(a)

Мы можем использовать тождество tg^2(a) = sec^2(a) - 1, чтобы заменить tg^2(a):

cos^2(a)(1+(sec^2(a) - 1))-sin^2(a)

Теперь раскроем скобки:

cos^2(a) + cos^2(a)(sec^2(a) - 1) - sin^2(a)

Распишем произведение второго слагаемого:

cos^2(a) + cos^2(a)*sec^2(a) - cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь объединим слагаемые:

cos^2(a) - sin^2(a) + cos^2(a)*sec^2(a) - cos^2(a)

Мы видим, что первое и третье слагаемые сокращаются:

0 + cos^2(a)*sec^2(a) - 0

Теперь заменим sec^2(a) на 1 + tg^2(a):

cos^2(a)*(1 + tg^2(a))

Используя тождество cos^2(a) = 1 - sin^2(a), мы можем заменить cos^2(a):

(1 - sin^2(a))*(1 + tg^2(a))

Раскроем скобки:

1 - sin^2(a) + tg^2(a) - sin^2(a)*tg^2(a)

Теперь объединим слагаемые:

1 + tg^2(a) - sin^2(a) - sin^2(a)*tg^2(a)

Используя тождество sin^2(a)*tg^2(a) = sin^2(a)/cos^2(a), мы можем заменить последнее слагаемое:

1 + tg^2(a) - sin^2(a) - sin^2(a)*(sin^2(a)/cos^2(a))

Упростим выражение:

1 + tg^2(a) - sin^2(a) - sin^4(a)/cos^2(a)

Используя тождество tg^2(a) = sin^2(a)/cos^2(a), мы можем заменить первое слагаемое:

sin^2(a) + sin^2(a) - sin^2(a) - sin^4(a)/cos^2(a)

Сократим одинаковые слагаемые:

sin^2(a) - sin^4(a)/cos^2(a)

Теперь, используя тождество sin^2(a) = 1 - cos^2(a), мы можем заменить sin^2(a):

(1 - cos^2(a)) - (1 - cos^2(a))^2/cos^2(a)

Распишем второе слагаемое:

1 - cos^2(a) - (1 - 2*cos^2(a) + cos^4(a))/cos^2(a)

Раскроем скобки:

1 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) + 2*cos^2(a)/cos^2(a) - cos^4(a)/cos^2(a)

Упростим выражение:

1 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) + 2 - cos^4(a)/cos^2(a)

Объединим слагаемые:

2 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) - cos^4(a)/cos^2(a)

Используя тождество cos^4(a) = (1 - cos^2(a))^2, мы можем заменить последнее слагаемое:

2 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) - (1 - cos^2(a))^2/cos^2(a)

Раскроем скобки:

2 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) - (1 - 2*cos^2(a) + cos^4(a))/cos^2(a)

Упростим выражение:

2 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) - (1 - 2*cos^2(a) + cos^4(a))/cos^2(a)

Сократим одинаковые слагаемые:

2 - cos^2(a) - 1/cos^2(a) - 1 + 2*cos^2(a) - cos^4(a))/cos^2(a)

Упростим дальше:

2 - 1 - 1 + 2*cos^2(a) - cos^4(a))/cos^2(a)

Распишем слагаемые:

(2 - 1 - 1)/cos^2(a) + 2*cos^2(a) - cos^4(a))/cos^2(a)

Упростим:

0 + 2*cos^2(a) - cos^4(a))/cos^2(a)

Сократим cos^2(a) в числителе и знаменателе:

2 - cos^2(a)

Наконец, мы получаем правую сторону тождества, что доказывает его верность:

cos^2(a) = cos^2(a)

Таким образом, мы успешно доказали заданное тождество.