Question

Решите уравнение сos10X_2sin^2 5X=2sinX на отрезке [0;п\2]При каком значении a уровнение X^4-8x^3-8x^2+96x+a= 0 имеет три ?Помогите пожалуйста очень важно!

Answer 1

$cos10x+2sin^25x=2sinx,\; \; [0,\frac{\pi}{2}]\\\\Formyla:\ sin^2 \alpha =\frac{1-cos2 \alpha }{2}\to \; cos2 \alpha =1-2sin^2 \alpha ,\; \alpha =5x,\; 2 \alpha =10x\\\\(1-2sin^25x)+2sin^25x=2sinx,\\\\2sinx=1\\\\sinx=\frac{1}{2},\\\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{6}\in [0,\frac{\pi}{2}]$

$2)\quad x^4-8x^3-8x^2+96x+a=0\\\\f(x)=x^4-8x^3-8x^2+96x=-a\\\\f'(x)=4x^3-24x^2-19x+96=0\; \to \\\\f'(x)=(x-6)(4x^2-16)=4(x-6)(x-2)(x+2)=0\\\\x_1=-2,x_2=2,x_3=6\\\\- - - - -(-2)+ + + +(2)- - - -(6)++ + + +$

Там, где знак производной минус, там функция убывает, где  плюс, там возрастает.
Поэтому есть экстремумы.Минимумы при х=-2 и х=6, максимумы при х=2.Функция принимает значения    
  f(min)=f(-2)=f(6)=-144,  f(max)=f(2)=112
Тогда график будет иметь вид как у синусоиды (нетрудно по точкам построить самому) ; одна из точек пересечения с осью ОХ будет (0,0), другие 3 точки будут между  х=2 и х=6; после х=6 и перед х=-2. График функции у= -а  -  это прямая, параллельная оси ОХ. Пересечение графиков функций у=f(x)  и  у=-а    в трёх точках будет только для прямой  у=112, тогда  а= -112. И соответственно три решения будут при а= -112.

Answer 2

Для начала решим уравнение cos(10X) - 2sin^2(5X) = 2sin(X) на отрезке [0, π/2]:

Преобразуем уравнение: cos(10X) - 2(1 - cos^2(5X)) = 2sin(X) cos(10X) - 2 + 2cos^2(5X) = 2sin(X) 2cos^2(5X) + cos(10X) - 2 + 2sin(X) = 0

Теперь воспользуемся формулами двойного угла: cos(10X) = 2cos^2(5X) - 1 sin(X) = 2sin(X)cos(X)

Подставим эти значения в уравнение: 2cos^2(5X) + (2cos^2(5X) - 1) - 2 + 2(2sin(X)cos(X)) = 0 4cos^2(5X) + 2sin(X)cos(X) - 3 = 0

Далее можно решить это уравнение численно или графически, чтобы найти значения X на отрезке [0, π/2].

Чтобы найти значение параметра a, при котором уравнение X^4 - 8x^3 - 8x^2 + 96x + a = 0 имеет три корня, нужно воспользоваться теоремой Виета для четырехкоренного уравнения. По теореме Виета, сумма корней четырехкоренного уравнения равна -(-8), то есть 8. Так как у нас есть три корня, то четвертый корень равен нулю.

Таким образом, сумма корней равна сумме двух парных корней, которая равна -b/a, где b = -8, а a = 1 (коэффициент при x^4). Таким образом, -(-8)/1 = 8.

Также по теореме Виета произведение корней равно -a_3/a_4, где a_3 = -8, a_4 = 1. Таким образом, -8/1 = -8.

Итак, чтобы уравнение имело три корня, сумма двух парных корней должна быть равна 8, а их произведение -8. Таким образом, можно подобрать значение параметра a, учитывая эти условия.