Question

Докажите, что F(x) = x^4 - 3sinx является первообразной для f(х) = 4x^3 - 3cosх

Answer 1

$(x^4 - 3sinx )`=(x^4)`-(3sinx)`=4x^3-3cosx$

Answer 2

Берем производную от F(x) = x^4-3sinx т.к. F'(x)=f(x)...
      F'(x)=4x^3-3cosx

Answer 3

Для того чтобы доказать, что функция F(x) = x^4 - 3sin(x) является первообразной для f(x) = 4x^3 - 3cos(x), мы должны проверить, что производная от F(x) равна f(x).

Давайте начнем с вычисления производной от F(x). Возьмем производную от каждого слагаемого в F(x) по отдельности:

Производная от x^4: (d/dx)(x^4) = 4x^3

Производная от -3sin(x): (d/dx)(-3sin(x)) = -3cos(x)

Теперь объединим эти два слагаемых:

(d/dx)(x^4 - 3sin(x)) = 4x^3 - 3cos(x)

Мы видим, что производная от F(x) действительно равна f(x) = 4x^3 - 3cos(x). Исходя из этого, мы можем заключить, что F(x) является первообразной для функции f(x).

Однако, чтобы быть более формальными, мы должны также убедиться, что производная от F(x) существует и является непрерывной на всем интервале, на котором определена функция f(x). В данном случае, производная от F(x) существует и является непрерывной для любого значения x, так как производные от x^4 и sin(x) существуют и непрерывны на всей числовой прямой.

Таким образом, мы можем заключить, что F(x) = x^4 - 3sin(x) является первообразной для f(x) = 4x^3 - 3cos(x).