Question

Сумма трех положительных чисел,составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. Если ко второму изних прибавить 2, к третьему 12, а первое оставить без изменения, получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение исходных трёх чисел.

Answer 1

Пусть первый член арифметической прогрессии $a_1$, второй - $a_2=a_1+d$, третий - $a_3=a_1+2d$. Их сумма по условию равна 12:
$a_1+a_2+a_3=12 \\\ a_1+a_1+d+a_1+2d=12 \\\ 3a_1+3d=12 \\\ a_1+d=4$
Первый член геометрической прогрессии в этом случае $b_1=a_1$, второй -$b_2=a_2+2=a_1+d+2$, третий - $b_3=a_3+12=a_1+2d+12$.
Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_2^2=b_1b_3 \\\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12)$
Объединяем два уравнения в систему:
$\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12) \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (4+2)^2=a_1(4+d+12) \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} d=4-a_1 \\ a_1(d+16)=36 \end{array}$
$a_1(4-a_1+16)=36 \\\ a_1(20-a_1)=36 \\\ 20a_1-a_1^2=36 \\\ a_1^2-20a_1+36=0 \\\ (a_1-18)(a_1-2)=0$
1.
$(a_1)_1=18 \Rightarrow d=4-18=-14; \ a_2=4; \ a_3=-10$ - не все члены положительные числа - противоречие условию
2.
$(a_1)_2=2 \Rightarrow d=4-2=2; \ a_2=4; \ a_3=6 \\\ a_1a_2a_3=2\cdot4\cdot6=48$
Ответ: 48

Answer 2

Дано, что сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. Пусть первое число этой прогрессии будет a, второе число будет a + d, а третье число будет a + 2d, где d - разность прогрессии.

Теперь, если ко второму числу прибавить 2, к третьему числу добавить 12, а первое число оставить без изменения, получится геометрическая прогрессия. Пусть первое число этой геометрической прогрессии будет a, второе число будет a(r), а третье число будет a(r^2), где r - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что в арифметической прогрессии сумма трех чисел равна 12:

a + (a + d) + (a + 2d) = 12

Раскроем скобки и упростим:

3a + 3d = 12 a + d = 4

Теперь рассмотрим геометрическую прогрессию:

a + 2 = a(r^2) (условие для третьего числа) a + d = a(r) (условие для второго числа)

Разделим эти два уравнения:

(a + 2) / (a + d) = (a(r^2)) / (a(r))

Упростим и раскроем скобки:

(a + 2) / (a + d) = r

Мы также знаем, что a + d = 4, поэтому подставим это значение:

(a + 2) / 4 = r

Теперь мы имеем два уравнения:

a + d = 4 (a + 2) / 4 = r

Мы можем решить это систему уравнений, чтобы найти значения a, d и r.

Решение:

Из первого уравнения получаем, что a = 4 - d.

Подставим это значение во второе уравнение:

((4 - d) + 2) / 4 = r (6 - d) / 4 = r

Теперь, чтобы найти произведение исходных трех чисел, умножим все три числа арифметической прогрессии:

a * (a + d) * (a + 2d)

Подставим значение a = 4 - d:

(4 - d) * ((4 - d) + d) * ((4 - d) + 2d)

Упростим:

(4 - d) * (4) * (4 + d)

Раскроем скобки:

(16 - 4d) * (4 + d)

Раскроем скобки и упростим:

64 - 16d + 4d^2 + 4d

4d^2 - 12d + 64

Таким образом, произведение исходных трех чисел равно 4d^2 - 12d + 64.