Question

Решите пожалуйста, 40 баллов: tg(2arccos(-2/3)) sin(1/2arcctg(-3/4)) cos(2arcctgx)

Answer 1

Arc - угол
в 1 примере формула тангенса двойного угла
во 2 примере синус половинного угла
в 3 примере косинус двойного угла.
1) tg(2arc Cos(-2/3)= 2tg(arcCos(-2/3))/(1 - tg²(arcCos(-2/3))=
=2√(1 -4/9)/(-2/3)= -3√5/3 = -√5
2)Sin(1/2 arcCtg(-3/4) = √(1 - Cos(arcCtg(-3/4))/2 =
=√(1 --3|4/√(1 + 9/16) /2 = 1/√5
3) Cos(2arcCtgx) = 1 - 2Sin²(arcCtgx) = 1 - 2·1/(1 + х²) = 
= 1 - 2/(1 + х²)

Answer 2

Для решения данного выражения, нам нужно использовать тригонометрические тождества и свойства обратных тригонометрических функций.

1. Начнем с первого слагаемого: tg(2arccos(-2/3)). Сначала найдем значение arccos(-2/3). Это угол, чей косинус равен -2/3. Мы знаем, что косинус отрицательный во второй и третьей четвертях, поэтому arccos(-2/3) находится во второй или третьей четверти. Используя тригонометрическую тождества, мы можем найти значение sin и cos этого угла. Пусть x = arccos(-2/3), тогда cos(x) = -2/3 и sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3. Теперь мы можем найти tg(2x) = 2tg(x)/(1 - tg^2(x)). tg(x) = sin(x)/cos(x) = (sqrt(5)/3)/(-2/3) = -sqrt(5)/2. Теперь подставим это значение в tg(2x): tg(2x) = 2*(-sqrt(5)/2)/(1 - (-sqrt(5)/2)^2) = -sqrt(5)/(1 - 5/4) = -sqrt(5)/(-1/4) = 4sqrt(5).

2. Перейдем ко второму слагаемому: sin(1/2arcctg(-3/4)). Найдем значение arcctg(-3/4). Это угол, чей тангенс равен -3/4. Мы знаем, что тангенс отрицателен во второй и четвертой четвертях, поэтому arcctg(-3/4) находится во второй или четвертой четверти. Пусть y = arcctg(-3/4), тогда tg(y) = -3/4. Теперь мы можем найти sin(1/2y) = sqrt((1 - cos(y))/2). cos(y) = 1/sqrt(1 + tg^2(y)) = 1/sqrt(1 + 9/16) = 1/sqrt(25/16) = 4/5. sin(1/2y) = sqrt((1 - 4/5)/2) = sqrt(1/10) = sqrt(10)/10.

3. Наконец, рассмотрим третье слагаемое: cos(2arcctgx). Пусть z = 2arcctgx, тогда tg(z/2) = x. Теперь мы можем найти cos(z) и sin(z) используя тригонометрические тождества. cos(z) = 1/sqrt(1 + tg^2(z)) = 1/sqrt(1 + x^2). sin(z) = x/sqrt(1 + x^2). Теперь мы можем найти cos(2arcctgx) = cos(z) - sin(z) = 1/sqrt(1 + x^2) - x/sqrt(1 + x^2) = (1 - x)/sqrt(1 + x^2).

Теперь мы можем подставить найденные значения в исходное выражение: 40 баллов = 4sqrt(5) + sqrt(10)/10 + (1 - x)/sqrt(1 + x^2).

Здесь x - это значение tg(z/2), которое нам не дано в исходной задаче. Если у вас есть конкретное значение x, пожалуйста, уточните его, чтобы мы могли окончательно решить задачу.