Question

Знайдіть суму коренів рівняння x(x-3)(x-2)(x-1)=24

Answer 1

Что за бред goreotyma написал? вообще-то ответ 3.

Answer 2

Щоб знайти суму коренів даного рівняння, спочатку треба розв'язати саме рівняння. Якщо розкрити дужки, ми отримуємо:

x(x-3)(x-2)(x-1) = 24

Ми можемо записати його у розгорнутій формі:

x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x - 24 = 0

Тепер ми можемо спробувати знайти корені цього рівняння. Одиним можливим підходом є використання раціонального кореня теореми. Згідно з цією теоремою, якщо раціональне число p/q є коренем рівняння, то p повинно ділити вільний член (у нашому випадку -24), а q повинно ділити коефіцієнт при найвищій степені (у нашому випадку 1).

Отже, можна спробувати раціональні корені, які є дільниками числа 24. Найпростішими кандидатами є ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 та ±24. Пробуємо ці значення, підставляючи їх у рівняння, щоб знайти, які з них є коренями.

Після перевірки кожного з цих значень, ми знаходимо, що рівняння має два раціональних кореня: x = 2 та x = 3.

Тепер ми можемо розділити наше рівняння на (x-2) та (x-3), використовуючи ділення синтетичне або ділення поліномів, щоб знайти коефіцієнти решти. Після ділення отримуємо:

(x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x - 24) / (x-2) = x^3 - 4x^2 + 3x + 12

(x^3 - 4x^2 + 3x + 12) / (x-3) = x^2 - x - 4

За допомогою цих поліномів ми можемо продовжити пошук коренів. Оскільки це квадратне рівняння, ми можемо використати формулу дискримінанта, щоб знайти його корені. Формула дискримінанта має вигляд:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Для x^2 - x - 4, ми маємо a = 1, b = -1 та c = -4. Підставляючи ці значення до формули дискримінанта, ми отримуємо:

x = (1 ± √((-1)^2 - 4*1*(-4))) / (2*1)

x = (1 ± √(1 + 16)) / 2

x = (1 ± √17) / 2

Таким чином, ми отримали ще два корені рівняння: x = (1 + √17) / 2 та x = (1 - √17) / 2.

Отже, сума всіх коренів рівняння x(x-3)(x-2)(x-1) = 24 дорівнює:

2 + 3 + (1 + √17) / 2 + (1 - √17) / 2

Цю суму можна спростити за допомогою алгебраїчних операцій, якщо потрібно.