Question

Найдите значение выражения tg^2a+ctg2a, если tga-ctga=2

Answer 1

$tg^2a+ctg2a\\ tga-ctga=2\\ (tga-ctga)^2=4\\ tg^2a+ctg^2a-2tga*ctga=4\\ tg^2a+ctg^2a=6\\ tg^2a+\frac{1}{tg^2a}=6\\ tg^4a-6tg^2a+1=0\\ tg^2a=x\\ x^2-6x+1=0\\ D=4\sqrt{2}\\ x=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}=3+2\sqrt{2}\\ x=\frac{6-4\sqrt{2}}{2}=3-2\sqrt{2}\\ 1)tga=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\\ 2)tga=\sqrt{3-2\sqrt{2}}\\\\ 1)ctg2a=\frac{\frac{1}{tg^2a}-1}{\frac{2}{tga}}=\frac{\frac{1}{3+2\sqrt{2}}-1}{\frac{2}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}\\ tg^2a+ctg2a=3+2\sqrt{2}+\frac{\frac{1}{3+2\sqrt{2}}-1}{\frac{2}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}}$ 
теперь для минуса подставьте все тоже самое только   заместо     $3+2\sqrt{2}=>3-2\sqrt{2}$

Answer 2

Для нахождения значения выражения tg^2a + ctg2a, если tga-ctga=2, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала выразим ctg2a через tg2a: ctg2a = 1/tg2a

Теперь подставим это значение в исходное выражение: tg^2a + 1/tg2a

Далее воспользуемся тождеством тангенса: tg2a = 2tga/(1-tga^2)

Теперь мы можем подставить это значение в наше выражение: tg^2a + 1/(2tga/(1-tga^2))

Далее упростим это выражение: tg^2a + (1-tga^2)/(2tga)

Теперь у нас есть значение tga-ctga=2, что означает, что мы можем заменить tga на x и ctga на x-2. Таким образом, у нас будет: x - (x-2) = 2 x - x + 2 = 2 2 = 2

Таким образом, мы получили противоречие, что означает, что значение выражения tg^2a + ctg2a не существует при условии tga-ctga=2.