Question

∫(π/2:0)соs²x/2dx горю сррочно

Answer 1

∫сos^2(x/2)dx [0;п/2] = ∫(1+cosx)/2 * dx [0;п/2] = 1/2 (x+sinx) [0;п/2] = x/2 + sinx/2 [0;п/2] = F(п/2) - F(0) = п/4 + sin(п/2)/2 - 0+0 = п/4 + 1/2

Answer 2

Вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла ∫(π/2:0)cos²x/2dx, мы можем использовать замену переменной. Давайте разберемся подробнее.

Замена переменной

Мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть u = x/2, тогда dx = 2du. Теперь мы можем выразить cos²x через u: cos²x = cos²(2u).

Подстановка и упрощение

Подставив u = x/2 и dx = 2du, наш интеграл примет вид: ∫(π/2:0)cos²x/2dx = 2∫(π/4:0)cos²u du

Вычисление интеграла

Теперь мы можем воспользоваться формулой половинного угла для косинуса: cos²u = (1 + cos(2u))/2. Подставим это выражение в наш интеграл и произведем вычисления.

∫(π/2:0)cos²x/2dx = 2∫(π/4:0)(1 + cos(2u))/2 du = ∫(π/4:0)(1/2 + cos(2u)/2) du = (1/2)u + (1/4)sin(2u) ∣ (π/4:0) = (1/2)(π/4) + (1/4)sin(π/2) - (1/2) * 0 - (1/4)sin(0) = π/8 + 1/4

Ответ

Таким образом, значение определенного интеграла ∫(π/2:0)cos²x/2dx равно π/8 + 1/4.