Question

1.Напишите уравнение касательной к графику функции у=x*e^x-1 в точке с абциссой х=1 2.Найдите площадь фигуры ,ограниченной графиком функции х=2/х-4,осью абцисс и прямыми х=5,х=7

Answer 1

1) уравнение касательной
 y=y(x0)+y`(x0)(x-x0)
y=xe^(x-1)
y(1)=e^0=1
y`=(x*e^(x-1))`(производная произведения)=x`*e^(x-1)+x*e^(x-1)`=e^(x-1)+x*e^(x-1)=e^(x-1)*(x+1)
y`(1)=2
y=1+2(x-1)
y=1+2x-2
y=2x-1
2) y=2/x-4 Ox(y=0)  x=5 x=7 
S=∫a,b(f(x)-g(x))dx
S=∫5,7(0-2/x+4)=∫5,7(4-2/x)dx=2∫5,7(2-1/x)dx=2|7,5(2x-lnx)(формула Ньютона-Лейбница)=2(2*7-ln7-(2*5-ln5)=2(14-ln7-10+ln5)=2(4+ln(5/7)=8-2ln(5/7)

Answer 2

1. Уравнение касательной к графику функции у=x*e^x-1 в точке с абциссой х=1: Для нахождения уравнения касательной к функции в точке (x0, y0) используется формула y - y0 = f'(x0)*(x - x0), где f'(x0) - производная функции в точке x0. Сначала найдем производную функции y=x*e^x-1: y' = (x+1)*e^x Затем найдем значение производной в точке x=1: y'(1) = (1+1)*e^1 = 2e Теперь найдем значение функции в точке x=1: y(1) = 1*e^1-1 = e-1 Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: y - (e-1) = 2e*(x - 1)

2. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции х=2/х-4, осью абцисс и прямыми х=5, х=7: Для нахождения площади фигуры между графиком функции и осями абсцисс необходимо найти интеграл функции в заданных пределах. Сначала найдем точки пересечения графика функции и прямых х=5 и х=7: 2/х-4 = 5 2/х-4 = 7 Отсюда получаем: x1 = 2/(5+4) = 2/9 x2 = 2/(7+4) = 2/11 Теперь найдем интеграл функции в пределах от x1 до x2: ∫(2/x-4)dx от x1 до x2 = ∫(2/x-4)dx от 2/9 до 2/11 = [2ln|x|-4x] от 2/9 до 2/11 = (2ln|2/11|-4*2/11) - (2ln|2/9|-4*2/9) = (2ln(2/11)-8/11) - (2ln(2/9)-8/9) Таким образом, площадь фигуры ограничена графиком функции х=2/х-4, осью абсцисс и прямыми х=5, х=7 равна разности значений интеграла в найденных пределах.