Question

Решить уравнения1) 2sinx - 2 cos^2x - √3 =0 2) cos^2x - sin^4x = √2/2

Answer 1

2sin x - 2 cos^2 x - √3=0 каждое делишь на cos x   и получается 2tg x - 2cos x=√3 двойку надо вынести за скобку и будет 2(tg x - cos x)=√3 и двойку делим на √3 получается      

tg x - cos x=√3/2 опять всё делим на cos x равняется  sin x -1=√3/2 далее будет sin x=√3/2 +1 и получается x=(-1)^n arcsin √3/2 +1 + Пn, где n E z.

Answer 2

Решение уравнения 1: 2sin(x) - 2cos^2(x) - √3 = 0

Давайте решим это уравнение поэтапно.

Шаг 1: Перепишем уравнение в терминах sin(x) и cos(x):

2sin(x) - 2(1 - sin^2(x)) - √3 = 0

Шаг 2: Раскроем скобки:

2sin(x) - 2 + 2sin^2(x) - √3 = 0

Шаг 3: Объединим подобные члены:

2sin^2(x) + 2sin(x) - 2 - √3 = 0

Шаг 4: Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2sin^2(x) + 2sin(x) - 2 - √3 = 0

Шаг 5: Посмотрим на это уравнение как на квадратное уравнение относительно sin(x). Подставим sin(x) = t:

2t^2 + 2t - 2 - √3 = 0

Шаг 6: Решим квадратное уравнение относительно t. Для этого используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = 2 и c = -2 - √3.

D = 2^2 - 4 * 2 * (-2 - √3) = 4 + 16 + 8√3 = 20 + 8√3

Шаг 7: Проверим значение дискриминанта. Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

В данном случае, D = 20 + 8√3 > 0, поэтому уравнение имеет два различных решения.

Шаг 8: Используем формулы для нахождения значений t:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-2 ± √(20 + 8√3)) / (2 * 2)

Шаг 9: Выполним вычисления:

t = (-2 ± √(20 + 8√3)) / 4

Шаг 10: Получим два значения для t:

t1 = (-2 + √(20 + 8√3)) / 4

t2 = (-2 - √(20 + 8√3)) / 4

Шаг 11: Вспомним, что sin(x) = t. Подставим значения t1 и t2 в это уравнение, чтобы найти значения sin(x):

sin(x1) = t1 = (-2 + √(20 + 8√3)) / 4

sin(x2) = t2 = (-2 - √(20 + 8√3)) / 4

Шаг 12: Найдем значения x, используя обратную функцию синуса:

x1 = arcsin((−2 + √(20 + 8√3)) / 4)

x2 = arcsin((−2 - √(20 + 8√3)) / 4)

Это является окончательным решением уравнения 1.

Решение уравнения 2: cos^2(x) - sin^4(x) = √2/2

Давайте решим это уравнение поэтапно.

Шаг 1: Перепишем уравнение в терминах sin(x) и cos(x):

cos^2(x) - sin^4(x) = √2/2

Шаг 2: Заметим, что sin^4(x) = (sin^2(x))^2. Подставим это в уравнение:

cos^2(x) - (sin^2(x))^2 = √2/2

Шаг 3: Раскроем скобки:

cos^2(x) - sin^2(x) * sin^2(x) = √2/2

Шаг 4: Используем тригонометрическую тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Подставим это в уравнение:

1 - sin^2(x) - sin^2(x) * sin^2(x) = √2/2

Шаг 5: Объединим подобные члены:

1 - sin^2(x) * (1 + sin^2(x)) = √2/2

Шаг 6: Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

1 - √2/2 = sin^2(x) * (1 + sin^2(x))

Шаг 7: Упростим левую часть:

(2 - √2) / 2 = sin^2(x) * (1 + sin^2(x))

Шаг 8: Рассмотрим два случая:

Случай 1: sin^2(x) = 0

Если sin^2(x) = 0, то sin(x) = 0. Подставим это в уравнение:

(2 - √2) / 2 = 0 * (1 + 0) = 0

Это не выполняется, поэтому sin^2(x) = 0 не является решением.

Случай 2: sin^2(x) ≠ 0

Если sin^2(x) ≠ 0, то мы можем разделить обе стороны на sin^2(x):

(2 - √2) / (2sin^2(x)) = 1 + sin^2(x)

Шаг 9: Обозначим sin^2(x) = t:

(2 - √2) / (2t) = 1 + t

Шаг 10: Решим это уравнение относительно t:

(2 - √2) = (2t)(1 + t)

2 - √2 = 2t + 2t^2

2t^2 + 2t - 2 + √2 = 0

Шаг 11: Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = 2 и c = -2 + √2.

D = 2^2 - 4 * 2 * (-2 + √2) = 4 + 16 - 16√2 = 20 - 16√2

Шаг 12: Проверим значение дискриминанта. Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

В данном случае, D = 20 - 16√2 > 0, поэтому уравнение имеет два различных решения.

Шаг 13: Используем формулы для нахождения значений t:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-2 ± √(20 - 16√2)) / (2 * 2)

Шаг 14: Выполним вычисления:

t = (-2 ± √(20 - 16√2)) / 4

Шаг 15: Получим два значения для t:

t1 = (-2 + √(20 - 16√2)) / 4

t2 = (-2 - √(20 - 16√2)) / 4

Шаг 16: Вспомним, что sin^2(x) = t. Подставим значения t1 и t2 в это уравнение, чтобы найти значения sin^2(x):

sin^2(x1) = t1 = (-2 + √(20 - 16√2)) / 4

sin^2(x2) = t2 = (-