Question

X^2+y^2-4x+2y+5>=0 Доказать справедливость неравенства. Помогите, давно не решал!

Answer 1

X²+y²-4x+2y+5≥0
(x²-4x+4)-4+(y²+2y+1)-1+5≥0
(x-2)²+(y+1)²-5+5≥0
(x-2)²+(y+1)²≥0
(x-2)²≥0 при любых х∈R
(y+1)²≥0 при любых у∈R
Следовательно, сумма (x-2)² и (y+1)² также будет неотрицательна.

Answer 2

Для начала давайте преобразуем данное неравенство. Мы можем переписать его в виде:

(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + 5 >= 0

Теперь давайте завершим квадратное уравнение, добавив и вычтя нужные значения:

(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 5 >= 0 (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + 5 >= 0 (x - 2)^2 + (y + 1)^2 >= 0

Теперь давайте посмотрим на последнее выражение. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому (x - 2)^2 и (y + 1)^2 всегда будут больше или равны нулю. Таким образом, сумма двух неотрицательных чисел также будет больше или равна нулю. Следовательно, исходное неравенство x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 >= 0 верно для всех значений x и y.

Таким образом, мы доказали справедливость данного неравенства.