Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке: y=x^3+3x^2-72x+90 на отрезке [ -5;5 ]

Answer 1

Производная функции:
$y'=(x^3+3x^2-72x+90)'=3x^2+6x-72$
Приравняем производную функции к нулю
$3x^2+6x-72=0\\ 3(x^2+2x-24)=0\\ x^2+2x-24=0\\ x^2+2x+1-25=0\\ (x+1)^2-25=0\\ \left[\begin{array}{ccc}x+1=5\\ x+1=-5\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=4\\ x_2=-6\end{array}\right$
Корень $x=-6$ не удовлетворяет заданному отрезку.
Найдем значение функции в концах отрезка.
$y(-5)=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-72\cdot(-5)+90=400\,\,\,\,\, -\max \\ y(5)=5^3+3\cdot 5^2-72\cdot5+90=-70\\ y(4)=4^3+3\cdot 4^2-72\cdot 4+90=-86\,\,\,\, -\min$

Answer 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном промежутке, в данном случае на отрезке [-5, 5], мы можем использовать процесс определения экстремумов функции.

1. Найдем критические точки функции: - Найдем производную функции y(x) по x. - Решим уравнение y'(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками.

2. Определение экстремумов функции: - Найденные критические точки и концы промежутка [-5, 5] будут потенциальными местами, где функция может достигать своих экстремальных значений. - Оценим значение функции y(x) в этих точках, чтобы определить, где функция достигает максимума и минимума.

Давайте приступим к вычислению.

Нахождение критических точек функции

1. Вычисление производной функции y(x): - y'(x) = 3x^2 + 6x - 72

2. Решение уравнения y'(x) = 0: - 3x^2 + 6x - 72 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 6 и c = -72:

- D = (6)^2 - 4 * 3 * (-72) = 36 + 864 = 900

Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Используя формулу корней квадратного уравнения, x = (-b ± √D) / (2a), мы можем найти значения x:

- x = (-6 ± √900) / (2 * 3) = (-6 ± 30) / 6 = -1 ± 5

Получаем два значения: x1 = -6 и x2 = 4.

Определение экстремумов функции

Теперь, когда мы нашли критические точки функции y(x) и концы промежутка [-5, 5], мы можем определить экстремумы функции.

1. Оценим значение функции y(x) в критических точках и концах промежутка: - y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 72(-5) + 90 - y(5) = (5)^3 + 3(5)^2 - 72(5) + 90 - y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 72(-6) + 90 - y(4) = (4)^3 + 3(4)^2 - 72(4) + 90

2. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции: - Наибольшее значение функции будет соответствовать максимальному значению из оцененных выше. - Наименьшее значение функции будет соответствовать минимальному значению из оцененных выше.

Оценим значения функции в указанных точках, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции:

- y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 72(-5) + 90 = -15 - y(5) = (5)^3 + 3(5)^2 - 72(5) + 90 = 15 - y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 72(-6) + 90 = 174 - y(4) = (4)^3 + 3(4)^2 - 72(4) + 90 = -10

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-5, 5] равно 174, достигаемое в точке x = -6, а наименьшее значение функции равно -15, достигаемое в точке x = -5.

Ответ: Наибольшее значение функции y = x^3 + 3x^2 - 72x + 90 на отрезке [-5, 5] равно 174, достигаемое в точке x = -6. Наименьшее значение функции равно -15, достигаемое в точке x = -5.