Question

2ctg в квадрате x + ctgx -1=0

Answer 1

2ctg²x + ctgx - 1 = 0
ctgx = t
2t² + t - 1 = 0
D = 1² - 4· 2·(-1) = 1 + 8 = 9
$\sqrt{D } =3$

$t _{1} = \frac{-1+3}{4}= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

$t _{2} = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} =-1$

$\left \{ {{ctgx= \frac{1}{2} } \atop {ctgx=-1}} \right.$

$x=arcctg \frac{1}{2} + \pi k,$ k∈Z

$x = \frac{3 \pi }{4} + \pi k,$ k∈Z

Answer 2

Данное уравнение выглядит следующим образом: 2ctg^2(x) + ctgx - 1 = 0. Чтобы решить его, давайте разберемся с терминами, используемыми в уравнении.

- ctg(x) обозначает котангенс функции x, который определяется как обратная функция к тангенсу (tg(x)). Можно записать его как ctg(x) = 1 / tg(x). - tg(x) обозначает тангенс функции x, который определяется как соотношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике с углом x. - В данном уравнении имеется квадрат ctg(x), что означает, что ctg(x) возводится в квадрат.

Теперь, когда мы разобрались с терминами, давайте перейдем к решению уравнения.

Шаг 1: Замена переменной

Давайте введем новую переменную, например, y = ctg(x). Тогда уравнение примет вид: 2y^2 + y - 1 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Уравнение 2y^2 + y - 1 = 0 является квадратным уравнением. Мы можем решить его с помощью стандартных методов, таких как формула дискриминанта или метод завершения квадрата.

Используя формулу дискриминанта, получаем:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + sqrt(9)) / (2*2) = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5,

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - sqrt(9)) / (2*2) = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1.

Шаг 3: Обратная замена переменной

Теперь, когда мы нашли значения y, мы можем заменить их обратно в переменную x, используя исходную замену y = ctg(x).

Для y1 = 0.5: ctg(x) = 0.5, x = arctg(0.5) + π * n, где n - целое число.

Для y2 = -1: ctg(x) = -1, x = arctg(-1) + π * n, где n - целое число.

Таким образом, мы получили решение уравнения 2ctg^2(x) + ctgx - 1 = 0 в виде x = arctg(0.5) + π * n и x = arctg(-1) + π * n, где n - целое число.