Question

Доказать, что если а≥0, b≥0, c≥0, то (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc

Answer 1

Используем неравенство Коши (a+b)/2≥√(ab) ⇒(a+b)≥2√(ab)
                                                (b+c)/2≥√(bc) ⇒(b+c)≥2√(bc)
                                               (a+c)/2≥√(ac) ⇒(a+c)≥2√(ac)
(a+b)(b+c)(a+c)≥8√(abbcac)
(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc
                        

Answer 2

Доказательство неравенства (a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться неравенством средних. Для начала, рассмотрим раскрытие скобок в левой части:

(a+b)(b+c)(a+c) = (a^2+ab+ac+bc)(a+c) = a^3 + a^2c + a^2b + abc + ac^2 + bc(a+c)

Теперь, сравним каждое слагаемое в левой части с правой частью неравенства:

1) a^3 ≥ 8abc

Мы знаем, что a ≥ 0, b ≥ 0 и c ≥ 0. Таким образом, можем умножить неравенство на a:

a^3 ≥ 8abc

a^2 ≥ 8bc

Так как b ≥ 0 и c ≥ 0, то 8bc ≥ 0. Значит, неравенство выполняется.

2) a^2c ≥ 8abc

Аналогично, умножим неравенство на c:

a^2c ≥ 8abc

ac ≥ 8ab

Так как a ≥ 0 и b ≥ 0, то 8ab ≥ 0. Значит, неравенство выполняется.

3) a^2b ≥ 8abc

Умножим неравенство на b:

a^2b ≥ 8abc

ab ≥ 8ac

Так как a ≥ 0 и c ≥ 0, то 8ac ≥ 0. Значит, неравенство выполняется.

4) abc ≥ 8abc

Так как a ≥ 0, b ≥ 0 и c ≥ 0, то abc ≥ 0. Значит, неравенство выполняется.

5) ac^2 ≥ 8abc

Умножим неравенство на c:

ac^2 ≥ 8abc

c^3 ≥ 8abc

Так как a ≥ 0 и b ≥ 0, то 8ab ≥ 0. Значит, неравенство выполняется.

6) bc(a+c) ≥ 8abc

Раскроем скобки:

bc(a+c) = bca + bcc = abc + b^2c + bc^2

Мы уже доказали, что abc ≥ 0. Также, b^2c ≥ 0 и bc^2 ≥ 0, так как b ≥ 0 и c ≥ 0. Значит, неравенство выполняется.

Заключение

Мы доказали, что каждое слагаемое в левой части неравенства (a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc выполняется. Следовательно, само неравенство также выполняется, когда a ≥ 0, b ≥ 0 и c ≥ 0.