Question

Помогите решить уравнение: 4cos^2 2x+2sin2x=1

Answer 1

4cos²2x +2sin2x = 1;
4(1- sin²2x) +2sin2x =1;  * * * cos²α +sin²α =1  ; α=2x * * *
4sin²2x -2sin2x -3 = 0 ;
замена :  t =sin2x  ,  |t| ≤  0;
4t² -2t -3 =0;
D/4 =1+4*3 =13;
t₁ =(1+√13)/4  >1 не решения ;
t₂ =(1- √13)/4 .
sin2x = (1-√13)/4;
2x = (-1)^(k+1)arcsin(√13 -1)/4 +πk  ,k∈Z .
x = (-1)^(k+1)*1/2*(arcsin(√13 -1)/4) +π/2*k , k∈Z .

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества. Давайте начнем с преобразования уравнения:

4cos^2(2x) + 2sin(2x) = 1

Используем тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

4(1 - sin^2(2x)) + 2sin(2x) = 1

Раскроем скобки:

4 - 4sin^2(2x) + 2sin(2x) = 1

Теперь представим sin(2x) в виде 2sin(x)cos(x):

4 - 4(2sin(x)cos(x))^2 + 2(2sin(x)cos(x)) = 1

Упростим выражение:

4 - 8sin^2(x)cos^2(x) + 4sin(x)cos(x) = 1

Теперь заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

4 - 8(1 - cos^2(x))cos^2(x) + 4sin(x)cos(x) = 1

Раскроем скобки и упростим:

4 - 8cos^2(x) + 8cos^4(x) + 4sin(x)cos(x) = 1

Теперь мы можем заменить sin(x)cos(x) на 0.5sin(2x):

4 - 8cos^2(x) + 8cos^4(x) + 2sin(2x) = 1

Получаем квадратное уравнение относительно cos(x):

8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 2sin(2x) - 3 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно cos(x) и найти значения x.