Question

Как решить уравнение: 1/2lg(x^2 +x-5)=lg5x-lg(1/5x)

Answer 1

Сначала ОДЗ:
 х² + х -5>0  ⇒ x∈(-∞; (-1-√21)/2)∨((-1+√21)/2 ; +∞)
                         5x >0  ⇒ х >0
                        1/5x > 0  ⇒>0
ОДЗ: х∈((-1+√21)/2;+∞)
Теперь решаем:
√(х² +х -5) = 5х:(1/5х)
√(х² +х -5) = 25х²

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение:

1/2 * lg(x^2 + x - 5) = lg(5x) - lg(1/5x)

давайте разберемся с каждой частью отдельно.

Первая часть уравнения:

1/2 * lg(x^2 + x - 5)

Для начала, заметим, что логарифм натурального числа равен нулю только тогда, когда само число равно 1. Таким образом, мы можем записать:

x^2 + x - 5 = 1

x^2 + x - 6 = 0

Вторая часть уравнения:

lg(5x) - lg(1/5x)

Мы можем использовать свойство логарифмов, что разность логарифмов двух чисел равна логарифму от их частного:

lg(5x) - lg(1/5x) = lg((5x) / (1/5x)) = lg((5x) * (5x)) = lg(25x^2)

Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

x^2 + x - 6 = 0

1/2 * lg(x^2 + x - 5) = lg(25x^2)

Решение уравнения:

Давайте решим это квадратное уравнение:

x^2 + x - 6 = 0

Мы можем факторизовать его, разложив его на два множителя:

(x + 3)(x - 2) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения x:

1. x + 3 = 0, откуда получаем x = -3 2. x - 2 = 0, откуда получаем x = 2

Проверка решений:

Проверим оба значения x во второй части уравнения:

1/2 * lg(x^2 + x - 5) = lg(25x^2)

Для x = -3:

1/2 * lg((-3)^2 + (-3) - 5) = lg(25(-3)^2)

1/2 * lg(9 - 3 - 5) = lg(225)

1/2 * lg(1) = lg(225)

1/2 * 0 = 2.35218

0 = 2.35218

Уравнение не выполняется для x = -3.

Для x = 2:

1/2 * lg((2)^2 + (2) - 5) = lg(25(2)^2)

1/2 * lg(4 + 2 - 5) = lg(100)

1/2 * lg(1) = lg(100)

1/2 * 0 = 2

0 = 2

Уравнение не выполняется для x = 2.

Вывод:

Уравнение 1/2 * lg(x^2 + x - 5) = lg(5x) - lg(1/5x) не имеет действительных решений.