Question

Найдите производные:а)f(x)=(2корня из x -2)*x^2+корень из 2б)f(x)=корень из х*(x-1\корень из х)+корень из 5

Answer 1

a) 2x(2sqrt(x)-2)+x^2/sqrt(x)=x(4(sqrt(x)-1)+sqrt(x))=x(5sqrt(x)-4)

б) 3/2sqrt(x)

Answer 2

Производные функций

Для нахождения производных данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной для константы, степенного правила, правило производной для суммы, разности и произведения, а также правило производной для функции вида \( \sqrt{u} \).

а) \( f(x) = (2\sqrt{x} - 2)x^2 + \sqrt{2} \)

Начнем с поиска производной функции \( f(x) \).

Для этого раскроем скобки и выделим слагаемые:

\[ f(x) = (2\sqrt{x} - 2)x^2 + \sqrt{2} \]

\[ f(x) = 2x^{\frac{3}{2}} - 2x^2 + \sqrt{2} \]

Теперь найдем производную каждого слагаемого:

1. Производная слагаемого \( 2x^{\frac{3}{2}} \):

\[ \frac{d}{dx}(2x^{\frac{3}{2}}) = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 3x^{\frac{1}{2}} \]

2. Производная слагаемого \( -2x^2 \):

\[ \frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x = -4x \]

3. Производная слагаемого \( \sqrt{2} \):

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{2}) = 0 \]

Теперь соберем производные слагаемых вместе:

\[ f'(x) = 3x^{\frac{1}{2}} - 4x + 0 \] \[ f'(x) = 3\sqrt{x} - 4x \]

Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна \( 3\sqrt{x} - 4x \).

б) \( f(x) = \sqrt{x} \cdot \left( x - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + \sqrt{5} \)

Начнем с поиска производной функции \( f(x) \).

Для этого раскроем скобки и выделим слагаемые:

\[ f(x) = \sqrt{x} \cdot \left( x - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + \sqrt{5} \]

Теперь найдем производную каждого слагаемого:

1. Производная слагаемого \( \sqrt{x} \cdot x \):

Используем правило производной для произведения функций: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x} \cdot x) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \]

2. Производная слагаемого \( \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \):

Используем правило производной для произведения функций: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{-1}{x \cdot 2\sqrt{x}} \] \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} \]

3. Производная слагаемого \( \sqrt{5} \):

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{5}) = 0 \]

Теперь соберем производные слагаемых вместе:

\[ f'(x) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} + 0 \] \[ f'(x) = \frac{x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} \] \[ f