Question

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14, а сумма их квадратов равна 84. Найти первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму первых шести членов

Answer 1

$S_3=\dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q}=\dfrac{b_1(1-q)(1+q+q^2)}{1-q}=b_1(1+q+q^2)14$

$b_1^2+b_2^2+b_3^2=b_1^2+(b_1q)^2+(b_1q^2)^2=b_1^2(1+q^2+q^4)=84$

Заметим, что $1+q^2+q^4=q^4+2q^2+1-q^2=(q^2+1)^2-q^2=(q^2+q+1)(q^2-q+1)$

Решаем систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{b_1^2(1+q^2+q)(q^2-q+1)=84} \atop {b_1(q^2+q+1)=14}} \right.~~~\left \{ {{14b_1(q^2-q+1)=84} \atop {b_1(q^2+q+1)=14}} \right.\\ \\ -\dfrac{\left \{\displaystyle {{b_1(q^2-q+1)=6} \atop {b_1(q^2+q+1)=14}} \right.}{2b_1q=8~\Rightarrow b_1q=4}$

$b_1(q^2-q+1)=6~~|\cdot q\\ b_1q(q^2-q+1)=6q\\ 4(q^2-q+1)=6q\\ 4q^2-4q+4=6q\\ 4q^2-10q+4=0~~|:2\\ 2q^2-5q+2=0\\ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=9\\ \\ q_1=\dfrac{5+3}{2\cdot2}=2;~~~~~~~~b_1=\dfrac{4}{q_1}=\dfrac{4}{2}=2\\ \\ \\ q_2=\dfrac{5-3}{2\cdot2}=\dfrac{1}{2};~~~~~~~~~b_1^*=\dfrac{4}{q_2}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}=8$

Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии

1) для q=2 и b1 = 2

$S_6=\dfrac{2\cdot (1-2^6)}{1-2}=126$

2) Для q=1/2 и b1 = 8

$S_6=\dfrac{8\cdot\bigg(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^6\bigg)}{1-\dfrac{1}{2}}=15.75$

Answer 2

Для решения задачи о геометрической прогрессии, у нас есть два условия:

1. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14. 2. Сумма их квадратов равна 84.

Пусть первый член геометрической прогрессии будет равен "a", а знаменатель прогрессии будет равен "r".

Найдем сумму первых трех членов геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии выражается следующей формулой:

S3 = a + ar + ar^2

По условию, сумма первых трех членов равна 14, поэтому мы можем записать уравнение:

a + ar + ar^2 = 14 (уравнение 1)

Найдем сумму квадратов первых трех членов геометрической прогрессии:

Сумма квадратов первых трех членов геометрической прогрессии выражается следующей формулой:

S2 = a^2 + a^2*r^2 + a^2*r^4

По условию, сумма квадратов равна 84, поэтому мы можем записать уравнение:

a^2 + a^2*r^2 + a^2*r^4 = 84 (уравнение 2)

Решение системы уравнений:

Для решения этой системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В этом случае, я воспользуюсь методом подстановки.

Из уравнения 1 выразим "a" через "r":

a = 14 - ar - ar^2 (уравнение 3)

Подставим уравнение 3 в уравнение 2:

(14 - ar - ar^2)^2 + (14 - ar - ar^2)^2*r^2 + (14 - ar - ar^2)^2*r^4 = 84

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

196 - 28ar - 28ar^2 + a^2r^2 + 2a^2r^3 + a^2r^4 + a^2r^4 = 84

196 - 28ar - 28ar^2 + a^2r^2 + 2a^2r^3 + 2a^2r^4 = 84 (уравнение 4)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной "r". Мы можем решить его для нахождения значения "r".

Решение уравнения для "r":

Уравнение 4 является квадратным уравнением относительно "r". Приведем его к стандартному виду:

2a^2r^4 + 2a^2r^3 + a^2r^2 - 28ar^2 - 28ar + (196 - 84) = 0

2a^2r^4 + 2a^2r^3 + a^2r^2 - 28ar^2 - 28ar + 112 = 0 (уравнение 5)

Мы можем решить это уравнение для "r" с помощью численных методов или факторизации. Поскольку это квадратное уравнение с переменным коэффициентом, его решение может быть сложным. Поэтому, я рекомендую использовать численные методы, например, метод Ньютона или метод половинного деления.

Найдем первый член прогрессии "a":

После того, как мы найдем значение "r", мы можем использовать уравнение 3 для нахождения "a":

a = 14 - ar - ar^2

Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии выражается следующей формулой:

S6 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5

Подставим значения "a" и "r" в формулу для нахождения суммы:

S6 = (14 - ar - ar^2) + (14 - ar - ar^2)r + (14 - ar - ar^2)r^2 + (14 - ar - ar^2)r^3 + (14 - ar - ar^2)r^4 + (14 - ar - ar^2)r^5