Question

19. Найдите произведение корней уравнения: |x-1|^2 - 8 = 2|x-1|

Answer 1

$|x-1|^2-8=2|x-1| \\ x-1=z \\ |z|^2-8=2|z| \\ |z|^2-2|z|-8=0 \\ \\ z \geq 0 \\ z^2-2z-8=0 \\ \Delta=4+32=36\ \textgreater \ 0 \\ z_1= \frac{2-6}{2}=-2 \\ z_2= \frac{2+6}{2}=4 \\ x_1=-1\ \textless \ 1 \\ x_2=1+4=5\ \textgreater \ 1 \\ \\ x=5 \\ \\ z\ \textless \ 0 \\ z^2+2z-8=0 \\ z_3= \frac{-2-6}{2}=-4\ \textless \ 0 \\ z_4= \frac{-2+6}{2}=2 \ \textgreater \ 0 \\ x=-4+1=-3 \\ \\ x=5;x=-3$
$5*(-3)=-15$

Answer 2

Пусть |x-1| = t (t≥0), то получаем
 a² - 8 = a
a² -a - 8 = 0
По т. Виета: a1 =-2; a2=4

Возвращаемся к замене
|x-1| = 4
x-1 = 4               x-1=-4
x1 = 5                x2 = -3

Произведение корней: x1 * x2 = 5 * (-3) = -15

Ответ: -15.

Answer 3

Для начала решим уравнение |x-1|^2 - 8 = 2|x-1|.

Для удобства обозначим |x-1| за t. Тогда уравнение примет вид t^2 - 8 = 2t.

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: t^2 - 2t - 8 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно t: t1,2 = (2 ± √(2^2 + 4*8)) / 2 = (2 ± √(4 + 32)) / 2 = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.

Таким образом, получаем два возможных значения t: t1 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 и t2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь заменим обратно t на |x-1| и решим два уравнения: |x-1| = 4 и |x-1| = -2.

Для уравнения |x-1| = 4 получаем два возможных значения x: x1 = 1 + 4 = 5 и x2 = 1 - 4 = -3.

Для уравнения |x-1| = -2 мы получаем, что такого значения x не существует, так как модуль не может быть отрицательным.

Итак, произведение корней уравнения равно 5*(-3) = -15.