Question

Решить уравнение: sin^2 x - 3sinxcosx + 2cos^2 x = 0

Answer 1

$\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$ - однородное уравнение.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ и при этом $\cos x\ne0$, получим
$tg^2x-3tgx+2=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно tgx:
$D=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1\\ \\ tgx= \dfrac{3+1}{2\cdot1} =2;~~~~\RIghtarrow~~~~\boxed{x_1=arctg2+ \pi n,n \in \mathbb{Z}}\\ \\ \\ tgx=\dfrac{3-1}{2\cdot1} =1;~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{x_2= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in \mathbb{Z} }$

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам.

Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Шаг 1: Применение тригонометрического тождества

Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), чтобы получить уравнение, содержащее только cos(x):

1 - cos^2(x) - 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Шаг 2: Сокращение

Давайте распределим коэффициенты перед cos^2(x) и cos(x):

-2cos^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 1 + cos^2(x) = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

cos^2(x) - 2cos^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной cos(x).

Шаг 3: Факторизация

Мы можем факторизовать это уравнение, чтобы найти корни. Разложим -2cos^2(x) на -cos^2(x) - cos^2(x):

cos^2(x) - cos^2(x) - cos^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь распределим коэффициенты:

-cos^2(x) + cos^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 1 = 0

Упростим:

3sin(x)cos(x) - 1 = 0

Шаг 4: Разрешение уравнения

Теперь решим уравнение: 3sin(x)cos(x) - 1 = 0

Мы можем представить sin(x)cos(x) как (1/2)sin(2x), используя тригонометрическое тождество:

(3/2)sin(2x) - 1 = 0

Теперь добавим 1 на обе стороны:

(3/2)sin(2x) = 1

Поделим обе стороны на (3/2):

sin(2x) = 2/3

Шаг 5: Нахождение значений x

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению sin(2x) = 2/3.

Мы знаем, что sin(2x) равен 2/3.

Чтобы найти x, мы можем использовать обратную функцию sin, так как sin(x) = 2/3.

Таким образом, x = sin^-1(2/3).

Вы можете использовать калькулятор или таблицу значений синуса, чтобы найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению.

Надеюсь, это поможет вам решить уравнение sin^2(x) - 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0.