Question

вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x-5 , y=x-1 (тема: определенный интеграл)

Answer 1

чертишь на координатной прямой два этих графика(будет парабола и прямая) 

нижний предел интегрирования будет наименьшее значение х удовлетворяющее обоим уравнениям,верхний предел-наибольшее значение

даллее по формуле, интеграл от наим.зн до наиб.зна (-x^2+6x-5-x+1)

 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x - 5 и y = x - 1, мы можем использовать определенный интеграл. Определенный интеграл позволяет нам вычислить площадь под кривой между двумя заданными границами.

Вычисление площади фигуры

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы должны найти точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем уравнения к друг другу и решим полученное уравнение:

-y = -x^2 + 6x - 5 x - 1 = -x^2 + 6x - 5

Решая это уравнение, мы найдем точки пересечения кривых. После этого мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади фигуры.

Нахождение точек пересечения

Решим уравнение x - 1 = -x^2 + 6x - 5:

x - 1 = -x^2 + 6x - 5 0 = -x^2 + 5x - 4 0 = x^2 - 5x + 4 0 = (x - 1)(x - 4)

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 1 и x = 4.

Вычисление площади

Теперь мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади фигуры. Площадь фигуры будет равна разности интегралов от y = -x^2 + 6x - 5 до y = x - 1 по переменной x от x = 1 до x = 4.

S = ∫[1, 4] (x - 1) - (-x^2 + 6x - 5) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[1, 4] (x - 1) + x^2 - 6x + 5 dx S = ∫[1, 4] x^2 - 5x + 4 dx

Интегрируя это выражение, получим:

S = [1/3 * x^3 - 5/2 * x^2 + 4x] [1, 4] S = (1/3 * 4^3 - 5/2 * 4^2 + 4 * 4) - (1/3 * 1^3 - 5/2 * 1^2 + 4 * 1)

Вычислим это выражение:

S = (64/3 - 80/2 + 16) - (1/3 - 5/2 + 4) S = (64/3 - 40/3 + 16/1) - (1/3 - 15/3 + 12/3) S = (64 - 40 + 48) - (1 - 15 + 12)/3 S = 72 - 4/3 S = 216/3 - 4/3 S = 212/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x - 5 и y = x - 1, равна 212/3.

Источники: (https://www.chetk.info/sveden/files/MR_2022_EN.01_...)