Question

Найти точку минимума функции ф(х)4/х^2 +х+4

Answer 1

$f(x)=\frac{4}{x^2}+x+4;\ \ \ f'(x)=-\frac{8}{x^3}+1\geq0;\ \ \ \frac{x^3-8}{x^3}\geq0.$

Или сократив числитель на неполный квадрат суммы:

$\frac{x-2}{x^3}\geq0.$

   (+)          (-)           (+)

-------(0)--------[2]---------

Из знаков производной видим, что х = 2 - точка минимума функции.

Ответ: х = 2

Answer 2

Функция f(x) = 4/x^2 + x + 4 является квадратичной функцией с отрицательным коэффициентом при x^2. Чтобы найти точку минимума этой функции, мы можем использовать производную.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции f(x), мы можем применить правила дифференцирования. Производная функции f(x) равна:

f'(x) = -8/x^3 + 1

Нахождение точки минимума

Чтобы найти точку минимума функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

-8/x^3 + 1 = 0

Умножим обе части уравнения на x^3:

-8 + x^3 = 0

Теперь перенесем -8 на другую сторону уравнения:

x^3 = 8

Чтобы найти значение x, возведем обе части уравнения в степень 1/3:

x = 2

Таким образом, точка минимума функции f(x) равна x = 2.

Проверка точки минимума

Чтобы убедиться, что найденная точка является точкой минимума, мы можем проанализировать знак производной в окрестности этой точки. Если производная меняет знак с отрицательного на положительный, то это будет указывать на наличие точки минимума.

Вычислим значение производной в точке x = 2:

f'(2) = -8/2^3 + 1 = -8/8 + 1 = -1 + 1 = 0

Значение производной в точке x = 2 равно 0. Это подтверждает, что точка x = 2 является точкой минимума функции f(x).

Ответ

Точка минимума функции f(x) = 4/x^2 + x + 4 равна x = 2.