Question

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если b3 +b6 =140, b4 − b5 + b6 =105.

Answer 1

$\{b_n\}$ - геометрическая прогрессия.
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ - n-ый член геометрической прогрессии
Воспользуемся этой же формулой
$\displaystyle \left \{ {{b_3+b_6=140} \atop {b_4-b_5+b_6=105}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1q^2+b_1q^5=140} \atop {b_1q^3-b_1q^4+b_1q^5=105}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \left \{ {{b_1q^2(1+q^3)=140} \atop {b_1q^2\cdot q(1-q+q^2)=105}} \right.\Rightarrow \left \{ {{b_1q^2(1+q)(1-q+q^2)=140} \atop {b_1q^2(1-q+q^2)\cdot q=105}} \right. \Rightarrow \\ \\ \\ \left \{ {{b_1q^2(1-q+q^2)= \frac{140}{1+q} } \atop {b_1q^2(1-q+q^2)\cdot q=105}} \right. \\ \\ \\ \frac{140}{1+q}\cdot q=105|\cdot(1+q)$

$140q=105(1+q)\\ 140q=105+105q\\ 35q=105\\ q=3$

Тогда первый член геометрической прогрессии
$b_1= \dfrac{140}{q^2(1+q^3)} = \dfrac{140}{3^2(1+3^3)} = \dfrac{5}{9}$


Ответ: $b_1=\dfrac{5}{9};\,\,\,\,\,\, q=3.$

Answer 2

Для решения данной задачи нам даны два уравнения, связанных с элементами геометрической прогрессии b1, b2, b3, b4, b5 и b6:

1) b3 + b6 = 140 2) b4 - b5 + b6 = 105

Мы можем использовать эти уравнения для нахождения первого члена (b1) и знаменателя (q) геометрической прогрессии.

Решение:

Для начала, давайте представим каждый из элементов прогрессии через первый член (b1) и знаменатель (q):

b2 = b1 * q b3 = b1 * q^2 b4 = b1 * q^3 b5 = b1 * q^4 b6 = b1 * q^5

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнения и решить систему уравнений.

Используя первое уравнение (b3 + b6 = 140), мы можем подставить значения элементов прогрессии:

b1 * q^2 + b1 * q^5 = 140

Факторизуя b1, мы получаем:

b1 * (q^2 + q^5) = 140

Используя второе уравнение (b4 - b5 + b6 = 105), мы можем подставить значения элементов прогрессии:

b1 * q^3 - b1 * q^4 + b1 * q^5 = 105

Факторизуя b1, мы получаем:

b1 * (q^3 - q^4 + q^5) = 105

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

b1 * (q^2 + q^5) = 140 b1 * (q^3 - q^4 + q^5) = 105

Мы можем разделить оба уравнения, чтобы избавиться от b1:

(q^2 + q^5) / (q^3 - q^4 + q^5) = 140 / 105

(q^2 + q^5) / (q^3 - q^4 + q^5) = 4 / 3

Теперь мы можем решить это уравнение относительно q. Упростим числитель и знаменатель:

q^2 + q^5 = (4 / 3) * (q^3 - q^4 + q^5)

Перенесем все члены в одну сторону:

0 = (4 / 3) * q^3 - (4 / 3) * q^4 + [(4 / 3) - 1] * q^5 - q^2 - q^5

0 = (4 / 3) * q^3 - (4 / 3) * q^4 + (1 / 3) * q^5 - q^2

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение численно или аналитически. Однако, здесь нет простого способа найти точное значение q, поэтому мы можем воспользоваться численными методами (например, методом половинного деления или методом Ньютона) для приближенного решения.

Если вы предоставите дополнительную информацию о значениях элементов прогрессии, я смогу помочь вам найти более точный ответ.