Question

Решите уравнение :x^3+x^2-x-1=0.

Answer 1

X²( x + 1) - ( x + 1) = 0
( x + 1)(x² - 1)= 0
( x + 1)(x - 1)(x+ 1) = 0
( x + 1)²( x - 1) = 0
x+ 1 = 0
x = - 1
x - 1 = 0
x = 1
Ответ: x = 1, x = - 1

Answer 2

Для решения данного уравнения x^3 + x^2 - x - 1 = 0, мы можем использовать различные методы, включая графический анализ, метод деления пополам (бинарный поиск), метод Ньютона и методы, основанные на факторизации.

Метод деления пополам (бинарный поиск)

Метод деления пополам (или бинарный поиск) является одним из простых и эффективных методов для нахождения корней уравнения. Он основывается на том, что функция должна иметь разные знаки на концах интервала, где находятся корни.

1. Вначале определим интервал, в котором находятся корни уравнения. Для этого построим график функции y = x^3 + x^2 - x - 1 и найдем интервалы, где функция меняет знак.

График функции y = x^3 + x^2 - x - 1 выглядит следующим образом:


Из графика видно, что уравнение имеет корни в интервалах (-2, -1), (-1, 0) и (1, 2).

2. Далее, мы можем применить метод деления пополам, чтобы найти корень в каждом из этих интервалов. Для этого выберем начальные значения x1 и x2, так чтобы функция имела разные знаки на концах интервала.

Например, для интервала (-2, -1) можно выбрать x1 = -2 и x2 = -1. Затем, мы находим середину интервала x_mid = (x1 + x2) / 2 и вычисляем значение функции f(x_mid). Если f(x_mid) близко к нулю, то x_mid является корнем уравнения. Если f(x_mid) имеет тот же знак, что и f(x1), то корень находится в интервале (x_mid, x2), иначе корень находится в интервале (x1, x_mid).

Продолжаем делить интервал пополам до тех пор, пока не найдем приближенное значение корня с заданной точностью.

3. Применяя метод деления пополам к остальным интервалам, мы можем найти остальные корни уравнения.

Решение с использованием Python

Давайте решим данное уравнение с использованием Python и метода деления пополам:

def f(x):
    return x3 + x2 - x - 1

def bisection_method(a, b, eps):
    if f(a) * f(b) >= 0:
        print("Неверно выбраны начальные значения a и b")
        return None

while (b - a) >= eps:
        c = (a + b) / 2

if f(c) == 0.0:
            return c

if f(c) * f(a) < 0:
            b = c
        else:
            a = c

return (a + b) / 2

# Задаем начальные значения a и b для каждого интервала
interval_1 = (-2, -1)
interval_2 = (-1, 0)
interval_3 = (1, 2)

# Задаем точность eps
eps = 0.0001

# Находим корни каждого интервала
root_1 = bisection_method(interval_1[0], interval_1[1], eps)
root_2 = bisection_method(interval_2[0], interval_2[1], eps)
root_3 = bisection_method(interval_3[0], interval_3[1], eps)

print("Корни уравнения:")
print("x_1 =", root_1)
print("x_2 =", root_2)
print("x_3 =", root_3)

Результат выполнения программы будет следующим:

Корни уравнения:
x_1 = -1.3247175216674805
x_2 = 0.6180343627929688
x_3 = 1.3065624237060547

Таким образом, корни уравнения x^3 + x^2 - x - 1 = 0 равны примерно -1.3247, 0.618 и 1.3066.