Question

Найдите логарифмы 27. 1/9. √3 при а=3

Answer 1

$log_327=log_33^3=3*log_33=3*1=3; \\ log_3 \frac{1}{9}=log_33^{-2}=-2; \\ log_3 \sqrt{3}=log_33^ \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$

Answer 2

Для нахождения логарифмов чисел 27, 1/9 и √3 при a = 3, мы можем использовать правило изменения основания логарифма и свойства логарифма.

Правило изменения основания логарифма:

Логарифмы одного и того же числа по разным основаниям связаны между собой следующим образом: log_b(x) = log_a(x)/log_a(b)

Свойство логарифма:

log_b(x^n) = n*log_b(x)

Теперь рассмотрим каждое число по отдельности:

1. Логарифм числа 27: Мы ищем логарифм числа 27 по основанию a = 3. Используя правило изменения основания логарифма, получим: log_3(27) = log_a(27)/log_a(3)

Так как a = 3, то: log_a(27) = log_3(27)

Заметим, что 27 = 3^3. Следовательно: log_3(27) = log_3(3^3)

Согласно свойству логарифма, мы можем записать: log_3(27) = 3 * log_3(3)

Так как log_3(3) равен 1, получаем: log_3(27) = 3

Таким образом, логарифм числа 27 по основанию a = 3 равен 3.

2. Логарифм числа 1/9: Мы ищем логарифм числа 1/9 по основанию a = 3. Используя правило изменения основания логарифма, получим: log_3(1/9) = log_a(1/9)/log_a(3)

Так как a = 3, то: log_a(1/9) = log_3(1/9)

Заметим, что 1/9 = (1/3)^2. Следовательно: log_3(1/9) = log_3((1/3)^2)

Согласно свойству логарифма, мы можем записать: log_3(1/9) = 2 * log_3(1/3)

Так как log_3(1/3) равен -1, получаем: log_3(1/9) = 2 * (-1) = -2

Таким образом, логарифм числа 1/9 по основанию a = 3 равен -2.

3. Логарифм числа √3: Мы ищем логарифм числа √3 по основанию a = 3. Используя правило изменения основания логарифма, получим: log_3(√3) = log_a(√3)/log_a(3)

Так как a = 3, то: log_a(√3) = log_3(√3)

Заметим, что √3 = 3^(1/2). Следовательно: log_3(√3) = log_3(3^(1/2))

Согласно свойству логарифма, мы можем записать: log_3(√3) = (1/2) * log_3(3)

Так как log_3(3) равен 1, получаем: log_3(√3) = (1/2) * 1 = 1/2

Таким образом, логарифм числа √3 по основанию a = 3 равен 1/2.

Итак, мы получили следующие значения логарифмов: log_3(27) = 3 log_3(1/9) = -2 log_3(√3) = 1/2