Question

Найдите максимальное целое число из промежутка убывания функции y=x^3 + 12x^2 + 14x - 30

Answer 1

Сначала найдем промежуток убывания функции, для этого возьмем производную:
$y'=3 x^{2} +24x+14$
И приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:
$0=3 x^{2} +24x+14$
$D=24*24-4*3*14=408=4*102$
$x_{1} =- \frac{24-2 \sqrt{108} }{3*2}= -4- \frac{ \sqrt{102} }{3}$
$x_{2} =- \frac{24+2 \sqrt{108} }{3*2}= -4+ \frac{ \sqrt{102} }{3}$
Так как график производной функции - парабола, то положительные и отрицательные значения будут чередоваться, так как ветви направлены вверх. то будут +-+, значит, промежуток убывания = [ $-4- \frac{ \sqrt{102} }{3}$ ; $-4+ \frac{ \sqrt{102} }{3}$ ]
Максимальное целое число будет заходиться около правой границы промежутка (так как ее значение больше левой).
$11\ \textgreater \ \sqrt{102}\ \textgreater \ 10$ (так как $\sqrt{121} \ \textgreater \ \sqrt{102} \ \textgreater \ \sqrt{100}$)
Мы не должны выходить за границу промежутка, поэтому берем меньшее число(10), но, так как 10 не делится без остатка на 3, значит, там нужно ближайшее меньшее число, которое делится, а это 9
$-4+9:3=-1$
Ответ: -1