Question

Решите неравенство || 3 - x| - 2 |< 4

Answer 1

$|| 3 - x| - 2 |< 4$

1) $x \geq 3$

$|(x-3)- 2 |< 4$

$|x-5|<4$

1.1) $x\in[3,5]$

$5-x<4$

$x>1$  Значит $x\in[3,5]$

1.2) $x\in(5,+\infty)$

$x-5<4$

$x<9$ Значит $x\in (5,9)$

2) $x<3$

$|(3-x)-2|<4$

$|1-x|<4$

2.1) $x\in(-\infty,1]$

$1-x<4$

$x>-3$  Значит $x\in(-3,1]$

2.2) $x\in(1,3)$

$x-1<4$

$x<5$   Значит $x\in (1,3)$


Объединяем все полученные ответы $x\in(-3,9)$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство более подробно.

\[ ||3 - x| - 2| < 4 \]

Для упрощения неравенства, давайте представим выражение внутри двойных модулей как новую переменную, скажем \( y \), тогда:

\[ y = |3 - x| - 2 \]

Теперь мы можем переписать исходное неравенство в терминах \( y \):

\[ |y| < 4 \]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \( y \geq 0 \), то \( |y| = y \), и неравенство становится:

\[ y < 4 \]

2. Если \( y < 0 \), то \( |y| = -y \), и неравенство становится:

\[ -y < 4 \]

Мы также знаем, что \( y = |3 - x| - 2 \). Теперь решим каждое из полученных уравнений:

1. Для \( y < 4 \):

\[ |3 - x| - 2 < 4 \]

Добавим 2 к обеим сторонам:

\[ |3 - x| < 6 \]

Теперь у нас есть два подслучая:

a. Если \( 3 - x \geq 0 \), то \( |3 - x| = 3 - x \).

Тогда неравенство становится:

\[ 3 - x < 6 \]

Решение: \( x > -3 \).

b. Если \( 3 - x < 0 \), то \( |3 - x| = -(3 - x) \).

Тогда неравенство становится:

\[ -(3 - x) < 6 \]

Решение: \( x < 9 \).

2. Для \( -y < 4 \):

\[ -(|3 - x| - 2) < 4 \]

Добавим 2 к обеим сторонам:

\[ -|3 - x| < 6 \]

Домножим обе стороны на -1 (поменяем знак неравенства):

\[ |3 - x| > -6 \]

Так как модуль всегда неотрицательный, данное неравенство выполняется для всех значений \( x \).

Теперь объединим решения из двух подслучаев:

\[ x > -3 \quad \text{или} \quad x < 9 \]

Таким образом, решение данного неравенства: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-\infty, 9) \).